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1、一、复习用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）xxz专题三：利用向量解决角与距离问题例题例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1
2、B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面
3、面距离点面距离解：∴所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？向量法求点到平面的距离：PA如图，已知点P（x0,y0,z0）,在平面内任意取一点A（x1,y1,z1），一个法向量其中也就是AP在法向量n上的投影的绝对值例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz问题：请小结如何用向
4、量的方法求空间中两点的距离？点到直线的距离？点面之间的距离？直线到直线的距离？abCDAB已知a,b是异面直线，n为a的法向量CD为a,b的公垂线则A，B分别在直线a,b上练习:如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。OABCDE图2〈二〉空间“距离”问题1.空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题〈二〉空间“距离”问题2.点到面的距离设n为平面的一个法向量，AB是面的一条斜线，A为斜足。根据向
5、量在轴上射影的概念，点B到面的距离等于向量在n上的射影的长度，所以BAn〈二〉空间“距离”问题3.异面直线间的距离nCDC、D分别是上任一点，则间的距离可转化为向量在n上的射影长，故设为两异面直线，其公共法向量为n,例2如图，ABCD是矩形，面ABCD，PD=DC=,AD=，M、N分别是AD,PB的中点，求点A到面MNC的距离APDCBMN解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz则D(0,0,0)，A(,0,0)，B(,,0)，C(0,,0)，P(0,0,)DMPNAxCBzy由于M,N分别是AD,PD的中点所以M(,0,0
6、)，N(,∴，设为面MNC的一个法向量，故解得，所以且故可取所以，在上的射影长即点A到面MNC的距离为1.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC（2）求二面角的余弦值〈三〉巩固练习B1A1C1D1DCBAOM2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E,F分别是AB,AD中点，GC面ABCD,且GC＝2，求点B到面EFG的距离DCAFBGE本节课我们主要介绍了空间“角”与“距离”的向量解法。我们发现，引入“空间向量”这一工具，能避免较为复杂的空间想象，为立体几何代数化带来很大的方便。而且，我们还
7、发现，在立几图形中合理建立空间直角坐标系，使“空间向量”坐标化，是解题的关键。事实上，它是完成从几何问题向代数问题转化的基础。〈四〉小结例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜
8、面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图3分析：∴
