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1、一、复习用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(化为向量问题)(进行向量运算)(回到图形)xxz专题三:利用向量解决角与距离问题例题例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?A1
2、B1C1D1ABCD图1解:如图1,设化为向量问题依据向量的加法法则,进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。思考:(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?设AB=1(提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离)A1B1C1D1ABCDH分析:面
3、面距离点面距离解:∴所求的距离是问题:如何求直线A1B1到平面ABCD的距离?向量法求点到平面的距离:PA如图,已知点P(x0,y0,z0),在平面内任意取一点A(x1,y1,z1),一个法向量其中也就是AP在法向量n上的投影的绝对值例2、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz例2、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz问题:请小结如何用向
4、量的方法求空间中两点的距离?点到直线的距离?点面之间的距离?直线到直线的距离?abCDAB已知a,b是异面直线,n为a的法向量CD为a,b的公垂线则A,B分别在直线a,b上练习:如图,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连结DE,计算DE的长。OABCDE图2〈二〉空间“距离”问题1.空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算,利用公式或(其中),可将两点距离问题转化为求向量模长问题〈二〉空间“距离”问题2.点到面的距离设n为平面的一个法向量,AB是面的一条斜线,A为斜足。根据向
5、量在轴上射影的概念,点B到面的距离等于向量在n上的射影的长度,所以BAn〈二〉空间“距离”问题3.异面直线间的距离nCDC、D分别是上任一点,则间的距离可转化为向量在n上的射影长,故设为两异面直线,其公共法向量为n,例2如图,ABCD是矩形,面ABCD,PD=DC=,AD=,M、N分别是AD,PB的中点,求点A到面MNC的距离APDCBMN解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)DMPNAxCBzy由于M,N分别是AD,PD的中点所以M(,0,0
6、),N(,∴,设为面MNC的一个法向量,故解得,所以且故可取所以,在上的射影长即点A到面MNC的距离为1.已知正方体的边长为2,O为AC和BD的交点,M为的中点(1)求证:直线面MAC(2)求二面角的余弦值〈三〉巩固练习B1A1C1D1DCBAOM2.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD中点,GC面ABCD,且GC=2,求点B到面EFG的距离DCAFBGE本节课我们主要介绍了空间“角”与“距离”的向量解法。我们发现,引入“空间向量”这一工具,能避免较为复杂的空间想象,为立体几何代数化带来很大的方便。而且,我们还
7、发现,在立几图形中合理建立空间直角坐标系,使“空间向量”坐标化,是解题的关键。事实上,它是完成从几何问题向代数问题转化的基础。〈四〉小结例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解:如图,化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是,得设向量与的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜
8、面上的点B处。从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考:(1)本题中如果夹角可以测出,而AB未知,其他条件不变,可以计算出AB的长吗?ABCD图3分析:∴