时小玲外文翻译.doc

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1、毕业论文外文资料翻译学院：理学院专业：信息与计算科学姓名：时小玲学号：外文出处：steven-leon-linear-algebra-with(用外文写)-application-8th-edition附件：1.外文资料翻译译文；2.外文原文。指导教师评语：该学生的英文文献与本课题相关，翻译量符合要求，译文能表达原文的含义，用词比较准确，行文比较流畅，体现了该学生较好的外文阅读能力，达到了本科生对外文阅读的要求。签名：李云红2016年05月08日附件1：外文资料翻译译文正定矩阵在第六节中，我们证明了对称矩阵是正定的，当且仅当它的特征值全是正的。这种类型的矩阵出现在各

2、种各样的应用中，它们常常出现在常微分方程数值解中通过有限差分法或有限元法。由于它们在应用数学中的重要性，我们这一节的学习重点放在它的性质上。回想一个阶对称矩阵是正定的，如果>0对于一切非零向量。在定理6.6.2中，对称正定矩阵通过它们所有的特征值是正的这一情况来表示特性。这一描述可以用来成立以下性质。性质一：如果是一个对称正定矩阵，那么是满秩的。性质二：如果是一个对称正定矩阵，那么如果是奇异的，则是的一个特征值，因为的所有特征值都是正的，一定是满秩的。第二性质也由定理得出。因为。给出一个阶矩阵，令标识删除的最后一个行和列的矩阵，叫做的主要子矩阵。我们可以说明正定矩阵

3、第三个性质：为了证明是正定的，，令（）为任意非零向量ｒ且令（、00），则由于=，由此证明是正定实的。性质1,2,3的直接结论是如果是对称正定矩阵A的主要余子式，那么是满秩的并且。这在高斯排除法中有很大的作用。一般来讲，如果是一个阶矩阵的主要余子式都是满秩的，那么可以只通过行操作化简成上三角矩阵，也就是说，在化简过程中对角线元素永远不会是，因此化简可以不改变行位置就完成。性质四：如果A是一个对称正定矩阵，那么A可以只通过行操作化简成一个上三角矩阵，且中心元素都是正的。让我们用一个44阶的对称正定矩阵来阐明性质四。首先注解，因此a可作为中心元素且第一行是第一中心行。令表

4、示第一列最后三个元素之后的位置入口已经被排除。（见表）→→表在这个步骤中，子矩阵转变成一个矩阵由于自转换只能使用行操作来完成，行列式的值保持不变，所以()=,因此，==，因为，它可以用作消除过程第二步的中心点。第二步之后，矩阵被转变为，因为只有行操作被应用，=,因此==，所以，可以被用作最后一步的中心点。第三步之后，余下的对角线元素将是=。一般地说，如果一个阶矩阵可以化解成一个上三角矩阵形式，没有任何行的互换，那么可以因式分解为乘积的形式，是对角线为的下三角矩阵，对角线下的元素在消除过程中将成为从第列减去第行的倍数。我们用一个的例子来说明：令=,矩阵通过以下过程来确

5、定：化简过程第一步，第二行减去第一行乘以，第三行减去第一行乘以，类似这种操作，我们令=，且=,第一步之后，我们得到矩阵。第三行减去第二行乘以完成最后的化简；同理可得，我们令=。第二步之后，我们得到上三角矩阵==，矩阵=。由此我们可以得出结论：。即为了证明该因式分解成立，让我们通过初等矩阵的变换过程来论证。操作Ⅲ在过程中应用了三次，这等价于在其左侧乘上3个初等矩阵。因此，。由于初等矩阵是满秩的，由此可见。当逆初等矩阵以这种顺序相乘时，其结果为一个对角线为1的下三角矩阵L。L的对角线下的元素将成为消除过程中减去两倍数。。给出矩阵A的因式分解LU，我们能进一步将U因式分解

6、成的乘积，其中D为对角矩阵且是上三角矩阵。那么。一般来讲，如果A可以被因式分解为LDU乘积的形式，其中L为下三角矩阵，D为对角矩阵，U为上三角矩阵，并且L和U都是对角线为1的矩阵，那么这样的因式分解是唯一的。（见习题7）如果是对称正定矩阵，那么可以被因式分解为的乘积，的对角线元素为，这些元素为化解过程中的中心元素。由性质6知，这些元素都是正数。而且，因为A是对称的。。由因式分解的唯一性可得。因此。我们经常将这种重要的因式分解用于数值计算中。在求解对称正定矩阵线性方程时，利用因式分解有效进行计算。性质5如果A是对称正定矩阵，那么A可以因式分解为的乘积形式，其中L是对角

7、线的下三角矩阵，D为对角矩阵且对角元素均为正数。由例1我们可得到==LU提出的对角元素，我们可得到：由于对角线元素为正，我们可以进一步因式分解。令同时令，那么这种因式分解称为的柯列斯基分解。性质6（柯列斯基分解）如果是对称正定矩阵，那么可以因式分解为的乘积，其中是下三角矩阵且对角线元素为正的。令例1和例2中的矩阵，如果我们令那么===矩阵=也可以依据上三角矩阵来写。事实上，如果，那么。此外，不难证明任何的结果都是正定的，如果是满秩的。将这所有结果放在一起，我们将得到以下定理：定理令为阶对称矩阵，以下为等价的：（a）是正定的。（b）子矩阵都有正的行列式。（c）仅使