高中物理中的极值问题.doc

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1、中学物理中的极值问题盐城市盐阜中学秦立华江苏盐城224001[摘要]中学物理中的极值问题，是把物理学的思想方法和数学的求解手段相结合，即用物理方法分析物理量达到极值的条件，再从这个条件出发，运用物理规律和数学手段列方程，求出极值。物理方法求极值的思维方向——物理量达极值时是平衡状态；物理量达极值时，另一物理量为零；瞬时速度相等时，物理量达极值；物理量达极值时出现临界状态等。用数学手段求极值的方法——三角函数法；不等式法；二次函数法等。[关键词]高中物理极值思想方法数学手段在中学物理的教学中，在一些较难的物理问题中经常遇到极值问题，而求解物理量的极值时，经

2、常是把物理学的思想方法和数学的求解手段相结合，即用物理方法分析物理量达到极值的条件，再从这个条件出发，运用物理规律和数学手段列方程，求出极值。用物理方法求极值，在思维的方向上要重点思考以下几点：第一，物理量达极值时是平衡状态。如汽车以恒定功率起动最后达到最大速度；雨滴下落最终达到收尾速度。第二，物理量达极值时，另一物理量为零。如从高处下落的小球掉在竖直放置的弹簧上，当加速度为零时，速度最大，而速度为零时，加速度又最大；带电粒子在电场、磁场的综合场中运动，也有类似的情况。第三，瞬时速度相等时，物理量达极值。如在水平面一物体撞上中间有弹簧的另一物体时，当速度

3、相等时弹簧的弹性势能最大；追击的问题，当速度相等时两物体相距最远。第四，物理量达极值时出现临界状态。如光的折射中，入射角变化达到全反射的情况；凸透镜成像中，物与像间的距离达最小值的情况。用数学手段求极值，常用的有以下几种方法：第一，三角函数法，即利用三角函数的有界性，︱sinθ∣≤1或∣cosθ∣≤1求解；第二，不等式法，即利用（a－b）2≥0或者a＋b≥2√ab求解；第三，用二次函数求极值，即对y＝ax2＋bx＋c,在x＝－b/2a时,有极值ym＝(4ac－b2)/4a。1、用三角函数求极值1-1、物体的质量为m，在光滑的底边长为L的斜面上由静止开始下

4、滑，当斜面倾角α为多大时，物体下滑的时间最短？分析：斜面倾角α较小时斜面较短，但同时加速度也较小；当斜面倾角α较大时，斜面较长，此时加速度也较大，究竟在α为多大时下滑时间t为最短呢？解：F合＝mgsinα＝maa＝gsinαS＝gt2/2　　　　L/cosα＝gsinαt2/2t＝√2L/gsinαcosα＝√4L/gsin2α∴当α＝45°时t→tmin＝√4L/g1-2、物体的质量为m，在动摩擦因数为μ的平面上，现在使物体在水平面上作匀速直线运动，其最小拉力为多大？分析：对此题学生经常会不加深究地认为F＝μFN＝μmg。其实当F与水平方向成θ角时，尽

5、管F的水平分量Fx减小了，但此时由于正压力FN减小了，滑动摩擦力Ff也减小了，则要使物体作匀速直线运动所需要的拉力也减小了。具体解法：解：ΣFx　＝Fcosθ－Ff　＝0FΣFy　＝Fsinθ＋FN－mg＝0整理可得m又Ff　＝μFNFcosθ－μ(mg－Fsinθ)＝0F＝μmg/(cosθ＋μsinθ)＝μmg/［√1＋μ2sin（θ＋θ0）］其中sinθ0＝1/√1＋μ2讨论：当θ＝900－θ0＝900－arcsin(1/√1＋μ2)时，F→Fmin∴　Fmin＝μmg/√1＋μ2＜μmg1、利用数学上a＋b≥2√ab，即“两个数的和为定值，当这两

6、个数相等时积为最大”求极值。2-1、两个带电小球相距r，其带电量分别为q1、q2，且q1＞q2，现把两个小球接触后再放回原处，问两球的电荷如何分配才能使其作用力为最大？（与2004年上海高考第19题类似）分析：此题的关键是要考虑到两球带同种电荷？还是带异种电荷？解一：当两电荷为同种电荷时，设接触后其中一个小球的带电量为qx1则F1＝kqx1(q1＋q2－qx1)/r2因qx1＋(q1＋q2－qx1)＝q1＋q2（定值）则当qx1＝q1＋q2－qx1时即qx1＝(q1＋q2)/2时F1→Fmax1Fmax1＝k(q1＋q2)2/(4r2)解二：当两电荷为异

7、种电荷时，接触后中和了一部分电荷，其总净电荷为q1－q2，再重新分配，设其中一个小球的带电量为qx2，同理可得F2＝kqx2(q1－q2－qx2)/r2因qx2＋(q1－q2－qx2)＝q1－q2（定值）则当qx2＝q1－q2－qx2时即qx2＝(q1－q2)/2时F2→Fmax2Fmax2＝k(q1－q2)2/(4r2)2-2、三个阻值都为R的电阻连成如图所示的电路，当滑动变阻器的滑动触头P在何处时，A、B间的电阻最大？解：设aP间的电阻为Rx，则R1＝R＋Rx，R2＝2R－RxRAB＝＝因R1＋R2＝3R（定值），当R＋Rx＝2R－Rx　，即Rx=R

8、/2时，RAB取最大值∴当P在a、b中点时，A、B间电阻最大，RABmax＝3R