专题二、分式不等式的解法.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（一）分式不等式：型如：f(x)0或f(x)0f(x)、（x）（x）0）的不等式称为分式不等式。（其中为整式且(x)(x)（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：（1）（2）f(x)0f(x)(x)0(x)f(x)0f(x)(x)0(x)(x)0（3）（4）f(x)0f(x)(x)0(x)f(x)0f(x)(x)0(x)(x)0（3）小结分式不等式的解法步骤：（1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式（2）转化

2、为等价的整式不等式（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正）（1）分式不等式的解法：解关于x的不等式x103x2方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：x10x103x2或2(x1)(3x2)003x0变式一：x103x2等价转化为：(x1)(3x2)03x20比较不等式x10及x10的解集。（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零）3x23x21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯练一练：解关于x的不等式(1)1x0(2)23x535x例1

3、、解关于x的不等式：x22解：x2x320x3x22(x3)0x3即，x80x3x80（保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）x3等价变形为：(x8)(x3)0x30原不等式的解集为8,3例2、解关于x不等式x822x3x2方法一：x22x3恒大于0，利用不等式的基本性质方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。例3、a1解关于x的不等式：ax解：移项01x通分ax0即，xa0xx等价转化为，x(xa)0x0当a>0时，原不等式的解集为(0,a]当a<0时，原不等式的解集为[a

4、,0)当a=0时，原不等式的解集为2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⒈一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1解不等式(x4)(x1)0.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：x10与x10的解集x40x40x10x10书写时可的并集，即{x

5、4}∪{x

6、4}=φ∪{x

7、-4

8、-4

9、10或x10x40x40x∈φ或-4

10、-4

11、20,xx20.xx2,xx2.当x1x2时，得x1xx2；当x1x2时，得x.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（-，-4）（-4，1）（1，+）3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x+4-++x-1--+(x-

12、1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x

13、-40；解：①各因式中x的符号均正；②求得相方程的根：-2，1，3；③列表如下：-213x+2-+++x-1--++x-3---+各因式-+-+④由上表可知，原不等式的解集：{x

14、-23}.小：此法叫列表法，解步是：①将不等式化(x-x1)(x-x2)⋯(x-xn)>0(<0)形式（各x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)⋯(x-xn)=0，求出各根，不妨称之分界点，一个分界点把（数）

15、数分成两部分，n个分界点把数分成n+1部分⋯⋯；②按各根把数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相各因式向排列（由小根的因式开始依次自上而下排列）；③算各区内各因式的符号，下面是乘的符号；④看下面的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.{x

16、-1