专题二、分式不等式的解法.pdf

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1、..（一）分式不等式：f(x)f(x)型如：0或0（其中f(x)、（x）为整式且（x）0）的不等式称为分式不等式。(x)(x)（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：f(x)f(x)（1）0f(x)(x)0（3）0f(x)(x)0(x)(x)f(x)f(x)(x)0f(x)f(x)(x)0（2）0（4）0(x)(x)0(x)(x)0（3）小结分式不等式的解法步骤：（1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式（2）转化为等价的整式不等式（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正）（1

2、）分式不等式的解法：x1解关于x的不等式03x2方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：x10x10或(x1)(3x2)03x203x20x1变式一：03x2(x1)(3x2)0等价转化为：3x20x1x1比较不等式0及0的解集。（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零）3x23x2;...练一练：解关于x的不等式1x2(1)0(2)3x535xx2例1、解关于x的不等式：2x3x2解：20x3x22(x3)0x3x8即，0x3x80（保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）x3(x8)(x3)0等价变形为：

3、x30原不等式的解集为8,3x8例2、解关于x不等式22x2x32方法一：x2x3恒大于0，利用不等式的基本性质方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。a例3、解关于x的不等式：1xa解：移项10xaxxa通分0即，0xxx(xa)0等价转化为，x0当a>0时，原不等式的解集为(0,a]当a<0时，原不等式的解集为[a,0)当a=0时，原不等式的解集为;...⒈一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1解不等式(x4)(x1)0.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法

4、运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必x10x10须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：与的解集x40x40x10x10的并集，即{x

5、}∪{x

6、}=φ∪{x

7、-4

8、-4

9、-4

10、0(a0)的2两根为x1、x2且x1x2，则axbxc0a(xx1)(xx2)0；xx10,xx10,xx1,xx1,①若a0,则得或或xx0,xx0.xx,xx.2222当xx时，得xx或xx；当xx时，得xR,且xx.1212121xx0,xx0,xx,xx,1111②若a0,则得或或xx0,xx0.xx,xx.2222当x1x2时，得x1xx2；当x1x2时，得x.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)

11、=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（-，-4）（-4，1）（1，+）;...x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x

12、-40；解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3；③列表如下：-213x+2-+++x-1--++x-3---+各因式积-+-+④由上表可知，原不等式的解集为

13、：{x

14、-23}.小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x2)⋯(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)⋯(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分⋯⋯；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(

15、x-3)(2-x)(x+1)>0.{x

16、-1

17、-23}.{x

18、-10(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)