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《均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基本不等式的常用变形1.若x12(当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x10，则x2(当且仅当xx_____________时取“=”）若x012即x12或x1(当且仅当____________时取“=”），则xx-2xx2.若ab0，则ab2(当且仅当____________时取“=”）ba若ab0，则ab2即ab2或ab-2(当且仅当_________时取“=”）bababa注：（1）当两个正
2、数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例1已知x,yR，且满足xy1，则xy的最大值为________。34解：因为x>0，y>0，所以xy2xyxy(当且仅当xy，即x=6，y=8时取等号)，3434334于是xy1，xy3.，故xy的最大值3.3变式：若log4xlog411y2，求的最小值.并求x,y的值xy解：∵log4xlog4y2log4xy2即xy=1611112
3、1当且仅当x=y时等号成立2xyxyxy2技巧二：配凑项求例2：已知x54x21的最大值。，求函数y44x5解：x5,54x0，y4x2154x1323144x554x当且仅当54x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。54x例3.当时，求yx(82x)的最大值。解：当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯变式：设0x34x(32x)的最大值。，求函数y232解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)22x3
4、2x9222当且仅当2x32x,即x30,3时等号成立。42例4.求yx27x10(x1)的值域。x1解：当,即时,y2（x1)49（当且仅当x＝1时取“＝”号）。x51练习：1、已知0x1，求函数yx(1x)的最大值.；2、0x2yx(23x)，求函数3技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换）错解：x0,y0，且191，199故xyxy22xy12．．xyxyxyxymin12。错因：解法中两次连用基本不等式，在xy2xy等号成立条件是xy，在1929199x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，等号成立条件是x即yxyxyy在利用基本不等式处理问
5、题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：x0,y0,191，xyx19y9x1061016yyxyxyxy9x19ymin当且仅当xy时，上式等号成立，又x1，可得x4,y12时，x16。y1x,yR且2xy1，求11的最小值变式：（）若xy(2)已知a,b,x,yR且ab1，求xy的最小值xy2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2：已知x0,y191，求xy的最小值。0，且yx(3)设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项，则11的最小值为（）．a
6、bA．8B．4C．1D．14解析：因为3a3b3，所以ab1。又a0,b0,所以11(ab)(11)2ba22ba4，当且仅abababab当ba即ab1时取“=”。故选（Ｂ）．ab2a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)xx的单调性。例：求函数yx25x2的值域。4解：令24t(t2)，则yx25x21t1xx24(t2)4x24t因t0,t11，但t1解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为yt1单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y5在区间1,。t2所以，所求函数的值域为5。
7、,2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）yx23x1,(x0)（2）y2x1,x3xx3(3)y2sinx1,x(0,)sinx的最大值.技巧六、已知x，y为正实数，且2y22x＋＝1，求x1＋y的最大值.2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式a2＋b2ab≤2。同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为1，x1＋y2＝x2·1＋y2＝22212x·y2＋23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯下面将x，1y22＋2分别看成两个因式：2x21＋y2)22y2＋11
8、y＋(22x＋2232x·2＋2≤2＝2＝4即x1＋y＝2·x1y2322＋2≤4技巧七：已知a，b为正实数，2b＋ab＋
