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《均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基本不等式的常用变形111.若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2(当且仅当xx_____________时取“=”）111若x0，则x2即x2或x-2(当且仅当____________时取“=”）xxxab2.若ab0，则2(当且仅当____________时取“=”）baababab若ab0，则2即2或-2(当且仅当_________时取“=”）bababa注：（1）当两个正数的积为定
2、植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：xy例1已知x,yR，且满足1，则xy的最大值为________。34xyxyxyxy解：因为x>0，y>0，所以2(当且仅当，即x=6，y=8时取等号)，3434334xy于是1，xy3.，故xy的最大值3.311变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值xy解：∵log4xlog4y2log4xy2即xy=16当且仅当x=y时等号成立1111
3、212xyxyxy2技巧二：配凑项求51例2：已知x，求函数y4x2的最大值。44x5511解：x,54x0，y4x254x323144x554x1当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。54x例3.当时，求yx(82x)的最大值。解：当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。2232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)222233当且仅当2x32
4、x,即x0,时等号成立。422x7x10例4.求y(x1)的值域。x1解：4当,即时,y2（x1)59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。x1练习：1、已知0x1，求函数yx(1x)的最大值.；22、0x，求函数yx(23x)3技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换）19199错．解．：x0,y0，且1，xyxy22xy12故xyxyxyxy12。min错因：解法中两次连用基本不等式，在xy2xy等号成立条件是xy，在191929等号成立条件是即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，xyxyxy在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且
5、是检验转换是否有误的一种方法。1919y9x正解：x0,y0,1，xyxy1061016xyxyxyy9x19当且仅当时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时，xy16。minxyxy变式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值xyab(2)已知a,b,x,yR且1，求xy的最小值xy2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯192：已知x0,y0，且1，求xy的最小值。xyab11(3)设a0,b0.若3是3与3的等比中项，则的最小值为（）．ab1A．8B．4C．1D．4ab解析：因为333，所以
6、ab1。1111baba又a0,b0,所以(ab)()2224，当且仅ababababba1当即ab时取“=”。故选（Ｂ）．ab2a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)xx2x5的单调性。例：求函数y的值域。2x42解：令2x5211x4t(t2)，则yx4t(t2)2x2tx4411因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt15因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。t25所以，所求函数的值域为,。2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.2x3x1
7、1（1）y,(x0)（2）y2x,x3xx31(3)y2sinx,x(0,)sinx的最大值.22y2技巧六、已知x，y为正实数，且x＋＝1，求x1＋y的最大值.222a＋b分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。2222121＋y同时还应化简1＋y中y前面的系数为，x1＋y＝x2·＝22221yx·＋223⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21y下面将x，＋分别看成两个因式：222221y22y12x＋(＋)x＋＋1y222232x·＋≤＝＝即x1＋y＝2·x2222421y3＋≤2
8、2241技巧七：已知a，b为正实数，2
