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《均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答经典)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一.基本不等式的常用变形1.若兀>0,则x+->2（当且仅当兀=1吋取“二”）；若兀<0,则x+丄<-2（当且仅当时取“二”）若兀H0，则1X+—X>2BPx+丄+丄「2XX（当且仅当时取“二”）2.若ab>°,则亠b-->?（当且仅当a时取“二”）（当且仅当、宀口口ab、宀宀ab,c2即一+—或一+—5・2baba注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的
2、技巧：技巧一：直接求：例1已知x.y^R+,且满足一+丄=1,则小的最大值为解：因为x>0,y>0,所以—+—>2（当且仅当即*6,尸8时取等号）,于是<1,.xy<3.,故xy的最大值3.变式:若log4x+log4^=2,11求一+—的最小值•并求九y的值xyW：Vlog4x+log4>'=2/Aog4xy=2即xy=16112当且仅当x=y时等号成立.-+->2xyxy技巧二：配凑项求例2：已知x<-,求函数v=4x-2+—的最大值。44x-5解：x<—,.5-4x>0»y=4x-2+—!—44x-52=-5-4x4-—!—I5-4x丿+35—2+3=1lo当且仅当
3、5-4兀=,即兀=1时，上式等号成立，故当兀=1时，y5-4兀皿例3.当0<4吋，求y=x（8-2x）的最大值。j/=x（8-2x）=l[2x-（8-2x）]<
4、（2x^~2x）2=8解：222当2x=8-2x,即%=2时取等号当x=2时，y=x（8-2x）的最大值为8。变式：设0vxv#，求函数y=4x(3-2x)的最大值。解:V05、.3-2x>0・・・y=4x(3-2x)=2-2x(3一2x)<2(”+：-2工当且仅当2x=3-2x9即兀=丄w40,3］时等号成立。2丿r2+7x+10例4.求)―(%>-1)的值域。x+1X2+7X+10(X+1)2+5(x+1)+
6、4z4cy==——=(X+1)++5解：x+1x+1x+1当1,即1>0时，y>2J(x+l)x-^-+5=9(当且仅当x=l时取“=”号)。练习：1、己知0V兀<1,求函数y=yjx(l-x)的最大值.；2、02I-~2y/xy=12技巧三：“1”的巧妙利用(常数代换)19错解：兀>0,y>0,且丄+-=1,••兀yx+y).=12o丿/nun错因：解法中两次连用基本不等式，在x+y>2^等号成立条件是,在I191+2>211等号成立条件是一=—即y=9小取等号的条件的不一致，产生错误。因此，x厂yxj兀y
7、在利用基木不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:•・.x+y=(x+y)(19)Cy)y9%=-+—+10>6+10=16y9x19y).丿/nun当II仅当丄二一时，上式等号成立，又一+—=1,可得x=4』=12时,兀yxy变式：(1)若x,y^R+且2x+y=l,求丄+丄的最小值(2)已知a.b.x.ye疋且纟+2=1,求无+y的最小值192：已知x>0,y>0,且一+—=1,求x+y的最小值。兀y（3）设a>0,b>0.若巧是3“与3"的等比中项，则丄+］的最小值为（）.ab1A・8B・4C.1D.-4解析：因为3“・
8、3"=3,所以a+b=l.又a>0,b>0,所以丄+丄=（a+b）（丄+丄）=2+匕+亠2+2上上=4,当且仅abababab当-=-即a=b=-吋取“二”。故选（B）.ab2技巧五:注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数/（X）=x+-Xx2+5的单调性。例：求函数）十。•的值域。解：令y/x1+4=t（t>2）,贝Uy二厂+5_=厶2+4+1/+2）'V774厶$+4t因r>O,z--=l,但心+解得心±1不在区问［2,+00）,故等号不成立，考虑单调性。因为円+*在区间［l,+oo）单调递增，所以在其子区间P，收）为单调递增函数，故『弓r5、所以
9、，所求函数的值域为一,+00o_2丿练习.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）y=X+3x+（x>0）（2）y=2x-k—^—9x>3xx-3（3）y=2sinx+—-—，兀丘（0,龙）sinx的最大值.技巧六、已知工，y为正实数，且/+号=1,求&T肓的最大值.2Ij2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式。同时还应化简Vi+r+/前而的系数为*，心门〒=兀寸2•上尹=y［2下面将X,述+7分别看成两个因式:3-41-2匸22+2X匸2++2技巧七：已知a,〃为正
