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《2012高考总复习《走向清华北大》精品课件6函数的单调性与最大(小)值.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六讲函数的单调性与最大(小)值回归课本1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3
2、)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数;当f′(x)<0时,f(x)为减函数.2.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I,都有f(x)≤M;①对于任意x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M.②存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值结论M为最大值M为最小值定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在[m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).考点陪练1.(2010·福建)下列函数f
3、(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)”的是()A.B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)答案:A答案:B答案:D答案:C5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.答案:①③类型一函数单调性的判定与证明解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法､直接法､图象法.1.用定义法
4、证明函数单调性的步骤:(1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x10;(2)作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通过因式分解､配方､有理化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;(3)定号:确定差值Δy的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论;(4)判断:根据定义作出结论.2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数､二次函数､反比例函数的单调性均可直接说出.了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处:(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;(2)当f(x)恒为正或恒为负
5、时,函数与y=f(x)的单调性相反;(3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等;(4)复合函数单调性判断,要注意掌握“同增､异减”的原则.3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单调性的方法.[反思感悟]利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时,比较f(x1)与f(x2)的大小常用作差法,有时可运用作商法､放缩法等;讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域.类型二函数的奇偶性与单调性解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象
6、关于y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反.[分析]利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.∵x21+1>0,x22+1>0,x2-x1>0,而x1,x2∈[0,1]时,x1x2-1<0,∴当x1,x2∈[0,1]时,f(x1)-f(x2)<0,函数y=f(x)是增函数;当x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)>0,函数y=f(x)是减函数.又f(x)是奇函数,∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数.又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
7、f(x)在[-1,1]上是增函数.(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处可取得最大值.∴f(1)=，∴函数的最大值为,无最小值.类型三求函数的最值解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法.(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用单调性求最值.(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法.(4)导数法:当函数较复杂(如指､对数函数与多项式结合)时,一般采用此法.(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几
8、何意义,在图上找其变化范围.[分析]在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不等式求解,但须逐一验证应用均值不等式所具
