t分布与检验教案资料.ppt

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1、正态分布1.1什么是正态分布？对于连续型随机变量而言，正态分布是最重要的一种概率分布，其形状似“钟型”。经验表明：对于其值依赖于众多微小因素且每一因素均产生微小的或正或负影响的连续型随机变量来说，正态分布是一个相当好的描述模型。如身高、体重、考试成绩等。为了方便，通常用：表示随机变量X服从正态分布。符号~表示随机变量服从什么样的分布；N表示正态分布；，²为正态分布的（总体）均值（或期望）和方差。X是一个连续型随机变量，可在区间（－∞,+∞）内任意取值。1.2正态分布的性质：⑴正态分布曲线以均值为中

2、心，对称分布。⑵正态分布的概率密度函数呈中间高、两边低，在均值处达到最高，向两边逐渐降低，即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变小。⑶正态曲线下的面积约有68%位于±两值之间；约有95%面积位于±2之间；约有99.7%的面积位于±3之间。这些区域可用作概率的度量。⑷正态分布可由两个参数，²来描述，即一旦知道，²的值，就可以根据附录表查到随机变量X落于某一区间的概率值。⑸两个（或多个）正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布。该性质很重要，解释如下：令：假定X和Y相互独立，设a、b为

3、常数，考虑线性组合：W=aX+bY则有：其中，1.3标准正态分布由于期望和方差的不同，正态分布之间会存在一定的区别（见下图），如何将其简单化，从而引入标准正态分布。12不同均值，同方差的两个正态分布图121=2不同均值，不同方差相同均值，不同方差标准正态分布如果变量X的均值为，方差为，定义一个新的变量Z，则根据性质5，变量Z的均值为0，方差为1。在统计学中，我们称之为单位或标准正态变量，用符号表示为：任一给定均值和方差的正态变量都可转化为标准正态变量，将其标准化可以大大简化计算。例：变量

4、X表示面包房每日出售的面包量，假定它服从均值为70、方差为9的正态分布，即X~N(70,9)，求任给一天，出售面包数量大于75条的概率。首先，定义变量Z，Z=(75-70)/3≈1.67求：P(Z>1.67)查正态分布表得：P(0≦Z≦1.67)=0.4525则：P(Z>1.67)=0.5-0.4525=0.0475即每天出售面包的数量超过75条的概率为0.0475。1.6700.45250.0475f(Z)标准正态变量概率密度函数t分布回忆：若样本均值，则变量Z服从标准正态分布。即：假定已知和²的

5、估计量S²，则可以用样本标准差（S）代替总体标准差（），得到一个新的变量t。根据统计理论得知：变量t服从自由度为(n-1)的t分布。注意：在这里，自由度为(n-1)，而不是n。结论：从正态总体中抽取随机样本，若该正态总体的均值为，但方差²用其估计量S²来代替，则其样本均值服从t分布。通常用符号tk表示，其中k表示自由度。k=120(正态）K=20K=50不同自由度下的分布t分布的性质⑴t分布与正态分布相类似，具有对称性。⑵t分布的均值与标准正态分布均值相同，为0，但方差为k/(k-2)。由此，在求

6、t分布的方差时定义自由度必须大于2。标准正态分布的方差等于1，因此，t分布方差总大于标准分布的方差，也就是说，t分布比正态分布略“胖”些。t分布与正态分布：当k增大时，t分布的方差接近于标准正态分布方差值1。例如：当k=10时，t分布的方差为10/8=1.25；当k=30时，t分布的方差为30/28=1.07；当k=100时，t分布的方差为100/98=1.02；结论：随着自由度的逐渐增大，t分布近似于正态分布。注意：对于t分布，不要求其样本容量很大，k=30时，t分布与正态分布已很近似。t分布表的使用

7、:0-1.8121.812例：自由度为10，P(t>1.812)=P(t<-1.812)=0.05P(︱t︱>1.812)=P(t>1.812)+P(t<-1.812)=0.10.050.05t分布表举例：例：变量X表示面包房每日出售的面包量，在15天内，出售面包的样本方差为16。假定真实的出售量为70条，求任意15天内出售面包平均数量为74条的概率。分析：本例中已知样本方差S²=16，则S=4，总体均值（真实的出售量）=70，运用t变量公式得：查t分布表，自由度为(n-1)=15-1=14当自由度为1

8、4时，查表得，t值大于等于2.977的概率为0.005，大于等于4.140的概率为0.0005，所以，t值大于等于3.873的概率介于0.0005~0.005之间。练习1：上例中其他条件不变，现假定15天内出售面包的平均数量为72条，求获得此数量的概率。按照上述步骤，首先运用t变量公式，求出t变量。查t分布表，当自由度为14时，t值大于等于1.761的概率为0.05，大于等于2.145的概率为0.025，因此，t值取1.936的概率介于0.