初三圆周角和圆心角之间关系讲义和练习.doc

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1、Ⅰ．背景材料分类讨论思想当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得到问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法．分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”．其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小结，归纳得出结论．悟与问：圆周角定理是如何进行分类讨论论证的？Ⅱ．课前准

2、备一、课标要求经历探索圆周角和圆心角关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质，体会分类、归纳等数学思想．通过本节学习，应理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用它们进行论证和计算．通地圆周角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法．二、预习提示1．关键概念和定理提示关键概念：圆周角．重要定理：圆周角定理及两个推论．2．预习方法提示：本节由射门游戏问题引入圆周角概念，圆周角有两个特征．圆周角与圆心角的关系揭示了分类讨论思想的本质，学习时要注意体会．三、预习效果反馈1．试找出图3-3-1中所

3、有的圆周角．2．如图3-3-2，∠A是⊙O的圆周角，∠A是40°，求∠OBC．3．如图3-3-3，AB是⊙O的直径，∠A=40°，求∠ABC度数．Ⅲ．课堂跟讲一、背记知识随堂笔记（一）必记概念1．圆周角：顶点在，并且的角．2．圆周角的两个特征：（1）；（2）．（二）必记定理1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．2．推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）直径所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是．（三）知识结构二、教材中“？”解答1．问题（P100）解答：这三个角大小相等．

4、2．议一议（P101）解答：∠ABC=∠AOC．分三种情况进行证明．小亮考虑的是一种特殊情况，其他两种情况可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．需要明确：以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数个，但它们与圆心的位置关系归纳起来只有三种情况：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部．3．问题（P102）解答：如果∠ABC的两边不经过圆心，结果一样．对于图（1）中，圆心O在∠ABC的内部，作直径BD，利用小亮的结果，有∠ABD＋∠CBD=∠AOD＋∠CO

5、D∠ABC=∠AOC．对于书上图（2）中，圆心O在∠ABC的外部，作直径BD．利用小亮的结果，有∠ABD－∠CBD=∠AOD－∠COD∠ABC=∠AOC．4．问题（P104）解答：（1）这一问题实际上是本节一开始提出的问题，解决这一问题的时机已经成熟．∠ABC、∠ADC、∠AEC是同弧（）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．（2）这是圆周角定理的一种特殊情况，即半圆所对的圆周角是直角，在教科书图3-18中，半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=90°．（

6、3）这一问题与问题（2）互逆，在教科书图3-19中，连接OB，OC．因为圆周角∠BAC=90°，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是说BC是⊙O的一条直径．5．议一议（P105）解答：在得出本节的结论的过程中，用了度量与证明，分类与转化，以及类比等方法．尤其定理的证明，把圆周角和圆心的位置关系分为三类，又把第2，3类转化为第一类去证明，体现了分类与转化的数学思想．6．做一做（P106）解答：（1）船位于暗礁区域内（即⊙O内）．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可

7、能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能位于⊙O外．（2）船位于暗礁区域外（即⊙O外）说理方法与（1）类似．三、重点难点易错点讲解圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点内容之一．认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点．圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可．这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点．圆周角定理的证明分三种情况

8、进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握．其证明思路是：（1）将已知图形中各种可能位置进行分类（圆心在圆周角内部，外部，其中一边上）；（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上）；（3）利用特殊位置的结论