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1、.等系数和线的应用广东省英德中学（513000）陈国宗一、概述平面向量是高中数学的一个重点知识，也是一种重要的解题工具，更是历年高考命题的热点.向量具有代数与几何的双重特性，因此在处理问题时既可以将向量问题代数化，也可以从数形结合角度进行分析.本文重点介绍利用等系数和线的方法解决向量线性表示中的系数和问题，并侧重于从数形结合思想分析问题，让读者体会该方法的直观性与简洁性.二、基本理论uuuruuuruuuruuuruuur1.三点共线定理：设OA,OB为平面内的一组基底，且OCxOAyOB，则A,B,C三点共线的充要条件为xy1.如图1所示：事实上，根据三点共线定理，我们
2、还可以得到更为一般的结论.uuuruuuruuuruuuruuur2.等系数和线：设OA,OB为平面内的一组基底，且OCxOAyOB，则点C在直线AB上或者与AB平行的直线上的充要条件为xyk(k为定值).如图2所示：下面给出该结论的证明：（1）充分性：已知xyk(k为定值)①当k1时，根据三点共线定理知点C在直线AB上②当k1时，在动点C的轨迹上任取两点C1，C2uuuuruuuruuuruuuuruuuruuur设OC1x1OAy1OBOC2x2OAy2OBQx1y1x2y2k则x2x1(y2y1)uuuuruuuuruuuuruuuruuuruuurC1C2OC2O
3、C1(x2x1)OA(y2y1)OB(x2x1)BAuuuuruuurC1C2//BA即C1C2//AB'..综上所述充分性成立.（2）必要性：①当点C在直线AB上时，根据三点共线定理易知xy1.uuuruuur②当点C在平行AB的直线上时，过点C作直线l，使l//AB，并分别交OA,OB（所在直线的延长线）于点A,B.如图3所示：uuuruuuruuuruuur设OAkOA,OBkOB.QA,C,B三点共线uuuruuuruuuruuuruuur则OCOA(1)OBkOA(1)kOB令xk,y(1)k则xyk综上所述必要性成立.因此，我们称直线AB以及与AB平行的直线为
4、等系数和线.3.推论：根据上面的证明过程，我们可以得到以下结论.如图4所示：uuuruuuruuurOCd2①若OCxOAyOB，则xy.OCd1②当等系数和线在O与直线AB之间时，xy0,1.③当直线AB在等系数和线与O之间时，xy1,.三、等系数和线的应用——求系数和或系数和的取值范围.问题一:xy型.例题1.如图5所示，在YABCD中，E,F分别为CD和BC的中点，若uuuruuuruuurABxAEyAF，则xy________.解：如图所示，连接EF，延长AB交直线EF于点B.uuuruuuruuur已知ABxAEyAF且E,F为中点.AB2则xyAB3'..例
5、题2.（2017全国II卷12题改编）在矩形ABCD中，AB1,AD2，动点P在uuuruuuruuur以点C为圆心，且与BD相切的圆上.若APxAByAD，则xy的取值范围为______________.解：如图所示，过点C作直线l1//BD作圆C的切线l2且l2//BD过点A作BD的垂线分别交BD,l1,l2于点E,F,G.易知AEEFFG.当P落在直线BD上时，xy1AG当P落在切线l2上时，xy3.AE事实上，当P在圆C上运动时，等系数和线夹在直线BD与切线l2之间，故xy的取值范围为1,3.uuuruuuruuur点评利用等系数和线方法处理形如OCxOAyOB的
6、系数和问题的基本步骤：①连接AB，构造直线ABOC②连接（延长）OC交直线AB于点C，则xy.必要时，应利用平行线OCOC分线段成比例计算的值.OC③对于xy的取值范围问题，可以过动点C的轨迹内作l1//AB，l2//AB且l1,l2d1d2分别为距离O点最近与最远的两条平行线，则xy,，其中d,d1,d2分别dd为点O到直线AB,l1,l2的距离.问题二：axby型.例题3.如图6所示，在YABCD中，E,F分别为CD和uuuruuuruuurBC的中点，若ABxAEyAF，则2x4y________.'..解：如图所示，作AF的中点F.连接EF交AB于点B，易知B为A
7、B的中点.uuuruuuruuuruuuruuuur则ABxAEyAFxAE2yAFABx2y2AB故2x4y2(x2y)4.uuuruuur例题4.（2009安徽卷改编）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹2角为，如图7所示，点C在以O为圆心的圆弧?AB上运动.3uuuruuuruuur若OCxOAyOB，其中x,yR.则x2y的取值范围为_______________.''?解：如图所示，作OB中点B,连结AB,作弧AB的切线l，使l//AB.''设切点为M,连结OM交AB于Muuuruuuruuuruuuruu
