数学思想方法专题回顾.doc

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1、数学思想方法专题回顾数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁．随着中考改革的深入，中考试题从知识型转到能力型，更加突出了对数学思想方法的考察．初中阶段常用的数学思想有：数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、转化思想、方程思想、函数思想、建模思想等．一、数形结合思想就是把数式与图形结合起来、代数与几何结合起来，进行分析、研究、解决问题的思维策略．例1.某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中．准备在形如Rt的

2、四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：品种红色花草黄色花草紫色花草价格（元/米2）6080120设的长为米，正方形的面积为平方米，买花草所需的费用为元，解答下列问题：（1）与之间的函数关系式为；（2）求与之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；（3）当买花草所需的费用最低时，求的长．图1ABFCGDHQPNM红黄紫E分析：对于（1），运用勾股定理即可表示出与之间的函数关系；对于（2）利用利用数量关系“单位面积单价×面积=总价

3、”得到与之间的函数关系式后，用配方法即可得到W的最小值；对于（3）在Rt中，利用勾股定理建立的的方程即可求得EM长．解：（1）（2）=60=80配方，得当时，元．（3）设米，则.在Rt中，解得的长为米．点评：本题考查勾股定理、一元二次方程、二次函数的最值的综合运用，本题构思巧妙，新颖独特，在我们非常熟悉的背景中，提出了与二次函数的问题，可谓匠心独运,涉及的数学思想有数形结合思想、配方法等数学思想方法二、分类讨论思想数学中的分类讨论就是把研究的对象所可能出现的情况不重复、无遗漏的分别加以讨论，从而获得完整的解答

4、．例2．如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．CABNM图2（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？分析：第（1）问利用三角形两边之和大于第三边；第（2）问利用勾股定理列方程，但要分三种情况讨论；第（3）问先列出函数关系式，再求二次函数的最大值即可．解：（1）在△ABC中，∵，，．∴，解得．　（2）①若AC为斜边，则，即，无解．②若AB为斜边，则，解得，满足

5、．③若BC为斜边，则，解得，满足．∴或．　CABNM图3D（3）在△ABC中，作于D，设，△ABC的面积为S，则．①若点D在线段AB上，则．∴，即．∴，即．∴（）．　当时（满足），取最大值，从而S取最大值．CBADMN图4②若点D在线段MA上，则．同理可得，（），易知此时．综合①②得，△ABC的最大面积为．点评：分类讨论思想是解决函数类问题中常用的一种数学思想．分类要注意两点：（1）正确选择一个分类标准；（2）分类要科学，既不重复，又不遗漏．三、转化思想数学解题的过程实际就是转化的过程，换句话说，解题就是把所

6、要解决的问题转化为已经熟悉的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解决．例3．在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．分析：本题先根据运算法则，转化为一元二次方程，再直接利用开平方法解之解：∵，∴．∴．∴．∴．点评：本题是一道新定义型的计算题，只要转化成常规的一元二次方程即可，本题既可用直接开平方法又可用因式分解法．本题主要是考查学生对新定义运算的理解和阅读能力以及转化能力．四、方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法．例4．20

7、09年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示．(1)　在5月17日至5月21日这5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？该天增加了多少人？(2)　在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例多少人？如果接下来的5天中，继续按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？(3)　甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9

8、人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？累计确诊病例人数新增病例人数0421961631932671775673074161718192021日本2009年5月16日至5月21日甲型H1N1流感疫情数据统计图人数(人)050100150200250300日期分析：只要理解题意，根据等量关系，列出方