任意角的三角函数（一）学案（人教A版必修4）.doc

《任意角的三角函数（一）学案（人教A版必修4）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.2.1　任意角的三角函数(一)自主探究1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sinα＝y；②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cosα＝x；③叫做α的正切，记作，即tanα＝(x≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝，cos

2、α＝，tanα＝.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.　利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.角α0πππππsinα010－1cosα10－－－－10tanα01无－－1－0无解　以α＝π为例，其余略．设P(x，y)为α＝π上一点，易知点P(x，y)在y轴负半轴上．∴x＝0，y<0，r＝＝－y>0.∴sinπ＝＝－1；cosπ＝＝0

3、；tanπ＝，无意义．名师点拨1．对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应，三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P的横坐标x等于0，则tanα无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角

4、有关．(4)符号sinα、cosα、tanα是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sinα”当成“sin”与“α”的乘积．2．诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．典例剖析一、利用定义求任意角的三角函数值例1　已知角α的终边上一点P(－15a,8a)(a

5、∈R且a≠0)，求α的各三角函数值．解　∵x＝－15a，y＝8a.∴r＝＝17

6、a

7、(a≠0)．(1)若a>0，则r＝17a，于是sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.(2)若a<0，则r＝－17a，于是sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.点拨　已知角终边一点求三角函数值，关键在确定该点的坐标，根据三角函数定义求解，同时应注意一些字母符号．二、判断三角函数值的符号例2　若θ为第一象限角，则能确定为正值的是(　　)A．sin　　　　　　　B．cosC．tanD．cos2θ答案　C解析　∵θ为第一象限角，∴2kπ<θ

8、<2kπ＋，k∈Z.∴kπ<0，cos>0，tan>0.当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π<<2nπ＋π(n∈Z)．∴为第三象限角，∴sin<0，cos<0，tan>0，从而tan>0，而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，cos2θ有可能取负值．点拨　根据三角函数值的符号判断角所在的象限时，可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．三、诱导公式一的应用例3　求下列各式的值．(1)cosπ＋tan；(2)si

9、n(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°.解　(1)原式＝cosπ＋tan＝cos＋tan＝cos＋tan＝＋1＝.(2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝×＋×－1＝0.点拨　利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2

10、π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．变式训练1．已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．解　sinα＝＝y.当y＝0时，sinα＝0，cosα＝－1，tanα＝0.当y≠0时，由＝，解得：y＝±.当y＝时，P，r＝.∴cosα＝－，tanα＝－.当y＝－时，c