充分条件与必要条件充要条件学案（人教A版选修21）.doc

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1、1．2　充分条件与必要条件1．2.1　充分条件与必要条件1．2.2　充要条件【课标要求】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．【核心扫描】1．判断充分条件、必要条件、充要条件．(重点)2．证明充要条件和求充要条件．(难点)自学导引1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qp⇒/q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件试一试：在逻辑推理中p⇒q，能否表达成以下5种说法：①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③

2、q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q.提示　可以．这五种说法表示的逻辑关系是一样的，都能表示p⇒q，只是说法不同而已．2．充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．想一想：p是q的充要条件与p的充要条件是q有什么区别？提示　p是q的充要条件指的是p⇒q是充分性，q⇒p是必要性，即p是条件，q是结论；p的充要条件是q中，q⇒p是充分性，p⇒q是必要性，即q是条件，p是

3、结论．名师点睛1．充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)定义法若p⇒q，但qp，则p是q的充分而不必要条件；若q⇒p，但pq，则p是q的必要而不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x

4、p(x)}；q：B＝{x

5、q(x)}．若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的充分而不必要条件；若BA，则p是q的必要而不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⃘B，B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件

6、．(3)传递性法由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系．(4)等价命题法当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来解决，即等价转化为判断其逆否命题．2．应用充分条件、必要条件、充要条件时需注意的问题(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推结论，从结论推条件；(3)确定条件是结论的什么条件；(4)要证明命题的条件是充要的，就是既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明

7、原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.题型一　充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB；(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[思路探索]解答本题首先判断是否有p⇒q和q

8、⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．解　(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p⇒/綈q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取A＝120°，B＝30°，p⇒/q，又取A＝30°，B＝120°，q⇒/p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)

9、x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件．规律方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充

10、分条件，若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．(2)关于充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，也可从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．【变式1】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选一种作答)?(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.解　(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cosB＝

11、<0，∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2