2001年全国高中数学联赛试卷及答案.doc

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1、2001年全国高中数学联合竞赛试题第一试（10月14日上午8：00　9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a为给定的实数，那么集合的子集的个数为（A）1　　　　（B）2　　　（C）4　　　（D）不确定【答】（　　）2．命题1长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2长方体中，必存在到各棱距离相等的点;　命题3长方体中，必存在到各面距离相等的点.以上三

2、个命题中正确的有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（A）0个　　（B）1个　　（C）2个　（D）3个【答】（　　）3．在四个函数y=sin

3、x

4、，y=cos

5、x

6、，y=

7、ctgx

8、，y=lg

9、sinx

10、中以为周期、在上单调递增的偶函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答】（　）（A）　y=sin

11、x

12、　（B）y=cos

13、x

14、　（C）　y=

15、ctgx

16、　（D）y=lg

17、sinx

18、4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=（B）0

19、为，则的值为【答】（　）（A）　　（B）　　（C）　　（D）　6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是【答】（　）（A）　2枝玫瑰价格高　　　　　　　（B）　3枝康乃馨价格高（C）　价格相同　　　　　　　　　　（D）　不确定二、填空题（满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．椭圆的短轴长等于　　　　　　．8．若复数z1，z2满足

20、z1

21、=2，

22、z2

23、=3，，则z1·z2=　　　　　．9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是　

24、　　　　．10.不等式的解集为　　　　　．11．函数的值域为　　　　　　．12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有　　　　　　种栽种方案．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设为等差数列，为等比数列，且，，,又．试求{an}的首项与公差．14．设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．(1)求实数m的取值范围（用a表示）；(2)O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．　15．用电阻值分别为a1、a2、

25、a3、a4、a5、a6(a1>a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．2001`年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月14日上午10：00　12：00）考生注意：(1)本试卷共三大题，全卷满分150分．一．（本题满分50分）如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：(1)OB⊥DF，OC⊥DE；(2)OH⊥MN．二．（本题满分50分）设（i=1，2，…，n）且，求的最大值与最小值．三．（本题满分50分）将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边

26、长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一．  选择题：1．C2．B3．D4．D5．C6．A二．填空题：7．8．9．10．11．12．732三．解答题：13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得化简得：解得：………………………………………………………5分而，故a1＜0若，则若，则………………………………10分但存在，故

27、q

28、＜1，于是不可能．从而所以………………………………20分14．解：(1)由消去y得：①设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．只需讨论以

29、下三种情况：1°△＝0得：，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；2°f(a)f(－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；3°f(－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．f(a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a；当a≥1时，－a＜m＜a．………………………………………………10