2001年全国高中数学联赛试卷及答案

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1、二○○一年全国高中数学联合竞赛题（10月4日上午8：00—9：40）题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1、已知a为给定的实数，那么集合

2、M={xx2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3、在四个函数y=sinx,y=cosx,y=ctgx,y=lgsinx中以p为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是（A）y=sinx（B）y=cosx（C）y=ctgx（D）y=lgsinx4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC

3、恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=8（B）0

4、圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．8、若复数z1,z2满足z1=2,z2=3,3z1-2z2=-I,则z1z2=。9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是。10、不等式的解集为。第13页共13页FABCDE11、函数的值域为。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案。一、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且，，（

5、a1a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。第13页共13页二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月4日上午10：00—12：0

6、0）学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、（本题满分50分）如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。二、（本题满分50分）设xi≥0(I=1,2,3,…,n)且，求的最大值与最小值。三、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。第13

7、页共13页2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一．选择题：CBDDCA1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（）．Ａ．1Ｂ．2Ｃ．4Ｄ．不确定讲解：M表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2个元素．故集合Ｍ有2２＝4个子集，选Ｃ．2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．以上三个命题中正确的有（）．Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．

8、3个讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确