2001年全国高中数学联赛试卷及答案.doc

2001年全国高中数学联赛试卷及答案.doc

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1、二○○一年全国高中数学联合竞赛题(10月4日上午8:00—9:40)题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意:1、本试卷共有三大题(15个小题),全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6个小是题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。1、已知a为给定的实

2、数,那么集合M={x

3、x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为(A)1(B)2(C)4(D)不确定2、命题1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;命题2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点;命题3:长方体中,必存在到各面距离相等的点;以上三个命题中正确的有(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个3、在四个函数y=sin

4、x

5、,y=cos

6、x

7、,y=

8、ctgx

9、,y=lg

10、sinx

11、中以p为周期、在(0,)上单调递增的偶函数是(A)y=sin

12、x

13、(B)y=cos

14、x

15、(C)y=

16、ctgx

17、(D)y=lg

18、sinx

19、4

20、、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的⊿ABC恰有一个,那么k的取值范围是(A)k=8(B)0

21、  (B)3枝康乃馨价格高(C)价格相同    (D)不确定二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7.椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________.8、若复数z1,z2满足

22、z1

23、=2,

24、z2

25、=3,3z1-2z2=-I,则z1z2=。9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1与BD1的距离是。10、不等式的解集为。FABCDE11、函数的值域为。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一场块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择,则有

26、种栽种方案。一、解答题(本题满分60分,每小题20分)13、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且,,(a1a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该

27、组件总电阻值最小?证明你的结论。二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题(10月4日上午10:00—12:00)学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、(本题满分50分)如图:⊿ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N。求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;(2)OH⊥MN。二、(本题满分50分)设xi≥0(I=1,2,3,…,n)且,求的最大值与最小值。三、(本题满分50分)将边长为正整数m

28、,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值。2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一.选择题:CBDDCA1.已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为(  ). A.1  B.2  C.4  D.不确定 讲解:M表示方程x2-3x-a2+2=0在实数范围内的解集.由于Δ=1+4a2>0,所以M含有2个元素.故集合M有22=4个子集,选C. 2.命题1:长方体中,必存在到各顶点距高相等的点. 命题2:长

29、方体中,必存在到各条棱距离相等的点; 命题3:长方体中,必存在到各个面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有(  ). A.0个  B.1个  C.2个  D.3个 讲解:由于长方体的中心到各顶点的距离相等,所以命题1正确.对于命题2和命题3,一般的长方体(除正方体外)中不存

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