均值不等式练习题.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯利用均值不等式求最值的方法一．均值不等式2222ab1.（1）若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取“=”）2*ab*2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）22*ab(3)若a,bR，则ab(当且仅当ab时取“=”）2113.若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2(当且仅当x1时取xx“=”）111若x0，则x2即x2或x-2(当且仅当ab时取“=”）xxxab3.

2、若ab0，则2(当且仅当ab时取“=”）baababab若ab0，则2即2或-2(当且仅当ab时取“=”）bababa22ab2ab4.若a,bR，则()（当且仅当ab时取“=”）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．一、配凑1.凑系数例1.当0x4时，求yx(82x)的最大值。解析：由0x4知，82x0，利用均值

3、不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。112x82x2yx(82x)[2x·(82x)]()8222当且仅当2x82x，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2.凑项51例2.已知x，求函数f(x)4x2的最大值。44x51解析：

4、由题意知4x50，首先要调整符号，又(4x2)·不是定值，故需对4x2进行凑4x5项才能得到定值。5∵x，54x04111∴f(x)42x(54x)3254(x)·323145x54x54x1当且仅当54x，即x1时等号成立。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3.分离2x7x10例3.求y(x≠1)的值域。x1解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。22x7x10(x1)5(x1)44y(x1)5x1x1x1当x10，即x1时4y2(x1)·59（当且仅当x＝1时取“＝”号）

5、。x1当x10，即x1时4y52(x1)·1（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。x12x7x10∴y(x≠－1)的值域为(，1][9，)。x1A评注：分式函数求最值，通常化成ymg()xB(A0，m0)，g(x)恒正或恒负的形式，g()x然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11例4.已知a0，b0，a2b1，求t的最小值。ab11解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。ab1111()·1()·(a2b)abab2ba12ab2ba3ab2ba32·

6、ab3222baa212ba当且仅当时取等号，由ab，得2abb1a2b12a2111即时，t的最小值为322。2b1ab211解法2：将分子中的1用a2b代换。aba2ba2b2ba12abab2ba3322ab2ba2ba评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到t3，而与的积为定值，即可用均值不等式abab11求得t的最小值。ab三、换元x2例5.求函数y的最大值。2x52t解析：变量代换，令tx2，则xt2(t0)，则y22t1当t＝0时，y＝0112当t0时，y1142t22t·tt3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯

7、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12当且仅当2t，即t时取等号。t232故x时，y。max24评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方15例6.求函数y2x152x(x)的最大值。22解析：注意到2x1与52x的和为定值。22y(2x152x)42(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8又y0，所以0y223当且仅当21x52x，即x时取等号。2故ymax22。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求

8、最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。［练一练］1.若