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《中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题第一天1.如图1，在圆内接ABC中，A为最大角，不含点A的弧BC上两点D、E分别为弧ABC、ACB的中点。记过点A、B且与AC相切的圆为O1，过点A、E且与AD相切的圆为O2，O1与O2交于点A、P。证明：AP平分ABC。22.给定质数p。设A(aij)是一个pp的矩阵，满足{aij
2、1i、jp}{1,2,,p}。允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A中元素全变为0，则
3、称A是一个“好矩阵”。求好矩阵A的个数。3.证明：对于任意实数M2，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列a1,a2,：i（1）对每个正整数i，有aiM；（2）当且仅当整数n0时，存在正整数m以及b1,b2,,bm{1,1}使得nb1a1b2a2bmam.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二天4.设f(x)(xa)(xb)(a、b是给定的正实数),n2为给定的正整数。对满足x1x2xn1的非负实数x1,x2,,xn，求Fmin{f(xi),f(xj)}的最大值。1ijn5.设n为无平方因子的正偶数，k为整数，p为
4、质数，满足2p2n,p
5、n,p
6、(nk).证明：n可以表示为abbcca，其中，a,b,c为互不相同的正整数。6.求满足下面条件的最小正整数k：对集合S{1,2,,2012}的任意一个k元子集A，都存在S中的三个互不相同的元素a、b、c，使得ab、bc、ca均在集合A中。2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯参考答案第一天1.如图2，联结EP、BE、BP、CD。分别记BAC、ABC、ACB为A、B、C，X、Y分别为CA延长线、DA延长线上的任意一点。由已知条件易得ADDC,AEEB。结合A、B、D、E、C五点共圆得1CB
7、AE90AEB90，221BCAD90ADC90。22由AC、AD分别切O1、O2于点A得APBBAX180A,ABPCAP，及APEEAY180DAE180(BAECADA)CBA180(90)(90)A90222A故BPE360APBAPE90APE2在APE与BPE中，分别运用正弦定理并结合AEBE，得sinPAEPEPEsinPBE，故nsiPAEnsiPBE，又因为APE、BPEsinAPEAEBEsinBPE均为钝角，所以，PAE、PBE均为锐角，于是，PAEPBE，故BAPBAEPAEABEPBEABPCAP。2.由加减法的交换律和结合律可以将针对同一行或同一列的操
8、作合并进行，并且无需考虑各操作间的次序。假设所有操作的最终结果是对第i行每个数减去xi，对第j列每个数减去yj，其中xi,yj(1i、jp)可以是任意整数。由题设知aijxiyj对所有的i、j(1i、jp)成立。由于表中各数互不相同，则x1,x2,,xp互不相同，y1,y2,,yp互不相同。不妨设x1x2xp，这是因为交换xi与xj的值相当于交换第i行和第j行，既不改变题设也不改变结论。同样，不妨设y1y2yp。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。由上面的讨论知a111,a122或a212，不妨设a122。否则，将整个数表关于主对3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯角线作对称，不改变题设也不改变结论。下面用反证法证明：1,2,,p全在第一行中。假设1,2,,k(2kp)在第一行中，k1不在第一行中。于，a21k1。将连续的k个整数称为一个“块”，只需证明：表格的第一行恰由若干个块构成，即前k个数为一个块，之后的k个数又是一个块，等等。如若不然，设前n组k个数均为块，但之后的k个数不成为块（或之后不足k个数），由此知对j1,2,,n,y(j1)k1,y(j1)k2,,yjk构成块。从而，表格的前nk列共可分成pn个1k的子表格ai,(j1)k1,ai,(j1)k2,
10、,ai,jk(i1,2,,p;j1,2,,n)，每个子表格中的k个数构成块。现假设a2,nk1a1,nk1x2x1a21a11k，故a2,nk1ak。从而ab必定在前nk列中。这样ab含在某个前面所说的1k的块中，但a、ak都不在该块中，矛盾。于是，第一行恰由若干个块构成。特别地，有k
11、p。但1kp，而p是质数，这导致矛盾。于是，数表的第一行恰为1,2,,p，而第k行必定为(k1)p1,(k1)p2,,kp.因此，好矩阵A在交换行，交换列，以及关于主对角线作对称下总可转化为唯一的
