2014年中国数学奥林匹克(CMO)试题及其解答

《2014年中国数学奥林匹克(CMO)试题及其解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、文武光华2014年中国数学奥林匹克（CMO）试题及其解答解答人：文武光华数学工作室田开斌一、如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线与边BC交于点D，点E、F分别在边AB、AC上，使得B、C、F、E四点共圆。证明：△DEF的外接圆圆心与△ABC的内切圆圆心重合的充分必要条件为BE+CF=BC。AEFBDC证明：如图，取△ABC内心为I，作IL⊥BC于I，作IM⊥AC于M，作IN⊥AB于N，则IL=IM=IN。因为AB＞AC，所以∠B＜∠C，所以∠ADC＜90°，所以点L在线段CD上，୅୉୅େ又因为B、C、F、E四点共圆，所以=，而A

2、B＞AC，所以AE＜AF。୅୊୅୆（1）我们先证明必要性，即若△DEF的外心与△ABC的内心重合，则BE+CF=BC。若I为△DEF外心，则ID=IE=IF，从而△IDL≌△IFM≌△IEN，于是知DL=FM=EN。又AM=AN，且AE＜AF，所以E在线段AN上，F在线段CM上，所以BE=BN+EN，CF=CM−FM。于是知BE+CF=BN+CM。又BN=BL，CM=CL，所以BE+CF=BN+CM=BL+CL=BC。AENMIFBDLC（2）我们再证明充分性，即若BE+CF=BC，则△DEF的外心与△ABC的内心重合。如图，以△ABC的内心I

3、为圆心，以ID为半径作⊙I，设⊙I与AB的交点中离点A较近的点为E′，⊙I与AC的交点中离点A较远的点为F′。根据（1）的证明，知△IDL≌△IF′M≌△IE′N，且E′在线段AN上，F′在线段CM上。于是知∠IDL=∠IEᇱN=∠IF′M，所以I、D、B、E′四点共圆，I、Eᇱ、A、F′四点共圆，所以∠AFᇱEᇱ=∠AIEᇱ=∠ABD，所以ᇱ୅୉୅େ୅୉ᇲB、C、F、E′四点共圆。又因为B、C、F、E四点共圆，所以==。୅୊୅୆୅୊ᇲ若AE＜AE′，则AF＜AF′，从而AE+AF＜AEᇱ+AFᇱ=BC，矛盾；若AE＞AE′，则AF＞AF′，从

4、而AE+AF＞AEᇱ+AFᇱ=BC，矛盾。于是只能AE=AE′，进而知AF=AF′。于是点E与点E′重合，点F与点F′重合，所以三角形DEF的外心即为△DE′F′的外心I。交流知识共享智慧文武光华AE(E')NMIF(F')BDLC综上所述，命题得证。二、对大于1的正整数n，定义集合D(n)=൛a−b

5、n=ab，a、b∈Nା，a＞bൟ。证明：对任意大于1的整数k，总存在k个互不相同且大于1的整数nଵ、nଶ、…、n୩，使得

6、D(nଵ)⋂D(nଶ)⋂…⋂D(n୩)

7、≥2。证明：我们先证明一个引理：对任意大于1的整数k，存在正整数α＞β，使得关于x、

8、y的方程x(x+α)=y(y+β)至少有k组正整数解。引理的证明：根据条件知：x(x+α)=y(y+β)⇔(2x+α)ଶ−αଶ=(2y+β)ଶ−βଶ⇔(2x+α)ଶ−(2y+β)ଶ=αଶ−βଶ⇔(2x+2y+α+β)(2x−2y+α−β)=(α+β)(α−β)（1）α+β=4୩ାଶ为方便，取ቊ
，显然α、β均为正整数。代入（1）知：α−β=4୩ାଵ൫2x+2y+4୩ାଶ൯൫2x−2y+4୩ାଵ൯=4ଶ୩ାଷ（2）2x+2y+4୩ାଶ=4ଶ୩ାଷି୫x=൫4୩ାଵ−4୫ିଵ൯൫4୩ାଵି୫−1൯令ቊ
（1≤m≤k），则ቊ
，2x−2y+4୩ାଵ=

9、4୫y=൫4ଶ୩ାଶି୫−4୩ାଵ൯+൫4୩−4୫ିଵ൯ସౡశమାସౡశభସౡశమିସౡశభ显然x、y都为正整数。于是知，当α=，β=时，方程x(x+α)=y(y+β)ଶଶ至少有k组正整数解。引理得证。下面借助引理证明原命题。根据引理知，存在正整数α＞β，使得方程x(x+α)=y(y+β)至少有k组正整数解，设这k组正整数解分别为൫xଵ，yଶ൯、൫xଶ，yଶ൯、…、൫x୩，y୩൯。令n୧=x୧(x୧+α)，1≤i≤k，则n୧=x୧(x୧+α)=y୧(y୧+β)，所以൛α，βൟ⊆D(n୧)。于是知൛α，βൟ⊆D(nଵ)⋂D(nଶ)⋂…⋂D(n୩)

10、，命题得证。三、证明：存在唯一的函数f:Nା→Nା，满足f(1)=f(2)=1，f(n)=f൫f(n−1)൯+f൫n−f(n−1)൯，n=3、4、5、…。并对每个整数m≥2，求f(2୫)的值。证明：我们先用数学归纳法证明：对于任意n∈Nା，୬≤f(n)≤n（1）ଶ当n=1、2时，结论显然成立。୬假设当n≤k（k≥2）时，都有≤f(n)≤n。则当n=k+1时，有1≤f(k)≤k，ଶ1≤k+1−f(k)≤k。根据归纳假设知：୤(୩)୩ାଵି୤(୩)୩ାଵf(k+1)=f൫f(k)൯+f൫k+1−f(k)൯≥+=ଶଶଶf(k+1)=f൫f(k)൯+f

11、൫k+1−f(k)൯≤f(k)+൫k+1−f(k)൯=k+1即当n=k+1时，结论也成立。根据数学归纳法，（1）式得证。根据（1）式，及递归关系f(n