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《2014年中国数学奥林匹克(CMO)试题及其解答》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、文武光华2014年中国数学奥林匹克(CMO)试题及其解答解答人:文武光华数学工作室田开斌一、如图,在锐角△ABC中,AB>AC,∠BAC的平分线与边BC交于点D,点E、F分别在边AB、AC上,使得B、C、F、E四点共圆。证明:△DEF的外接圆圆心与△ABC的内切圆圆心重合的充分必要条件为BE+CF=BC。AEFBDC证明:如图,取△ABC内心为I,作IL⊥BC于I,作IM⊥AC于M,作IN⊥AB于N,则IL=IM=IN。因为AB>AC,所以∠B<∠C,所以∠ADC<90°,所以点L在线段CD上,େ又因为B、C、F、E四点共圆,所以=,而A
2、B>AC,所以AE<AF。(1)我们先证明必要性,即若△DEF的外心与△ABC的内心重合,则BE+CF=BC。若I为△DEF外心,则ID=IE=IF,从而△IDL≌△IFM≌△IEN,于是知DL=FM=EN。又AM=AN,且AE<AF,所以E在线段AN上,F在线段CM上,所以BE=BN+EN,CF=CM−FM。于是知BE+CF=BN+CM。又BN=BL,CM=CL,所以BE+CF=BN+CM=BL+CL=BC。AENMIFBDLC(2)我们再证明充分性,即若BE+CF=BC,则△DEF的外心与△ABC的内心重合。如图,以△ABC的内心I
3、为圆心,以ID为半径作⊙I,设⊙I与AB的交点中离点A较近的点为E′,⊙I与AC的交点中离点A较远的点为F′。根据(1)的证明,知△IDL≌△IF′M≌△IE′N,且E′在线段AN上,F′在线段CM上。于是知∠IDL=∠IEᇱN=∠IF′M,所以I、D、B、E′四点共圆,I、Eᇱ、A、F′四点共圆,所以∠AFᇱEᇱ=∠AIEᇱ=∠ABD,所以ᇱେᇲB、C、F、E′四点共圆。又因为B、C、F、E四点共圆,所以==。ᇲ若AE<AE′,则AF<AF′,从而AE+AF<AEᇱ+AFᇱ=BC,矛盾;若AE>AE′,则AF>AF′,从
4、而AE+AF>AEᇱ+AFᇱ=BC,矛盾。于是只能AE=AE′,进而知AF=AF′。于是点E与点E′重合,点F与点F′重合,所以三角形DEF的外心即为△DE′F′的外心I。交流知识共享智慧文武光华AE(E')NMIF(F')BDLC综上所述,命题得证。二、对大于1的正整数n,定义集合D(n)=൛a−b
5、n=ab,a、b∈Nା,a>bൟ。证明:对任意大于1的整数k,总存在k个互不相同且大于1的整数nଵ、nଶ、…、n୩,使得
6、D(nଵ)⋂D(nଶ)⋂…⋂D(n୩)
7、≥2。证明:我们先证明一个引理:对任意大于1的整数k,存在正整数α>β,使得关于x、
8、y的方程x(x+α)=y(y+β)至少有k组正整数解。引理的证明:根据条件知:x(x+α)=y(y+β)⇔(2x+α)ଶ−αଶ=(2y+β)ଶ−βଶ⇔(2x+α)ଶ−(2y+β)ଶ=αଶ−βଶ⇔(2x+2y+α+β)(2x−2y+α−β)=(α+β)(α−β)(1)α+β=4୩ାଶ为方便,取ቊ,显然α、β均为正整数。代入(1)知:α−β=4୩ାଵ൫2x+2y+4୩ାଶ൯൫2x−2y+4୩ାଵ൯=4ଶ୩ାଷ(2)2x+2y+4୩ାଶ=4ଶ୩ାଷି୫x=൫4୩ାଵ−4୫ିଵ൯൫4୩ାଵି୫−1൯令ቊ(1≤m≤k),则ቊ,2x−2y+4୩ାଵ=
9、4୫y=൫4ଶ୩ାଶି୫−4୩ାଵ൯+൫4୩−4୫ିଵ൯ସౡశమାସౡశభସౡశమିସౡశభ显然x、y都为正整数。于是知,当α=,β=时,方程x(x+α)=y(y+β)ଶଶ至少有k组正整数解。引理得证。下面借助引理证明原命题。根据引理知,存在正整数α>β,使得方程x(x+α)=y(y+β)至少有k组正整数解,设这k组正整数解分别为൫xଵ,yଶ൯、൫xଶ,yଶ൯、…、൫x୩,y୩൯。令n୧=x୧(x୧+α),1≤i≤k,则n୧=x୧(x୧+α)=y୧(y୧+β),所以൛α,βൟ⊆D(n୧)。于是知൛α,βൟ⊆D(nଵ)⋂D(nଶ)⋂…⋂D(n୩)
10、,命题得证。三、证明:存在唯一的函数f:Nା→Nା,满足f(1)=f(2)=1,f(n)=f൫f(n−1)൯+f൫n−f(n−1)൯,n=3、4、5、…。并对每个整数m≥2,求f(2୫)的值。证明:我们先用数学归纳法证明:对于任意n∈Nା,୬≤f(n)≤n(1)ଶ当n=1、2时,结论显然成立。୬假设当n≤k(k≥2)时,都有≤f(n)≤n。则当n=k+1时,有1≤f(k)≤k,ଶ1≤k+1−f(k)≤k。根据归纳假设知:(୩)୩ାଵି(୩)୩ାଵf(k+1)=f൫f(k)൯+f൫k+1−f(k)൯≥+=ଶଶଶf(k+1)=f൫f(k)൯+f
11、൫k+1−f(k)൯≤f(k)+൫k+1−f(k)൯=k+1即当n=k+1时,结论也成立。根据数学归纳法,(1)式得证。根据(1)式,及递归关系f(n
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