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《数值分析课后部分习题答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题一（P.14）1.下列各近似值均有4个有效数字,,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解有4个有效数，即，由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为；有4个有效数，即，由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为；有4个有效数，即，由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为.2．下列各近似值的绝对误差限都是,试指出它们各有几位有效数字.解，即由有效数字与绝对误差的关系得，即，所以，；，即由有效
2、数字与绝对误差的关系得，即，所以，；，即由有效数字与绝对误差的关系得，即，所以，.4.设有近似数且都有3位有效数字，试计算，问有几位有效数字.解方法一因都有3位有效数字，即，，则，，，，，又，此时，，从而得.方法一因都有3位有效数字，即，，则，，，，，，，由有效数字与绝对误差的关系得.5.序列有递推公式若（三位有效数字），问计算的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解用表示的误差，由，得，由递推公式，知计算的误差为，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题2(P.84)3.证明，对所有的其中
3、为Lagrange插值奇函数.证明令，则，从而，又，可得，从而.4.求出在和3处函数的插值多项式.解方法一因为给出的节点个数为4，而从而余项，于是（n次插值多项式对次数小于或等于的多项式精确成立）.方法二因为而，，，，从而.5.设且，求证.证明因，则，从而，由极值知识得6.证明.证明由差分的定义或着7.证明n阶差商有下列性质(a)如果，则.(b)如果，则.证明由差商的定义(a)如果，则.(b)如果，则8.设，求，.解由P.35定理7的结论(2)，得7阶差商(的最高次方项的系数)，8阶差商(8阶以上的差商均等与0
4、).9.求一个次数不超过4次的多项式，使它满足：，，.解方法一先求满足插值条件，，的二次插值多项式(L-插值基函数或待定系数法)，设从而，再由插值条件，，得所以，即.方法二设，则由插值条件，，，得解得，从而.方法三利用埃尔米特插值基函数方法构造.10.下述函数在上是3次样条函数吗？解因为，而，，，又是三次函数，所以函数在上是3次样条函数.补设f(x)=x4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解因为，从而习题3(P.159)1．设为上具有权函数的正交多项式组且为首项系数为1的次的
5、多项式，则于线性无关.解方法一因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零，采用反证法：若于线性相关，于是，存在不全为零使上式两边与作内积得到由于不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解故系数矩阵的行列式为零，即与假设矛盾.方法二因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零，由(P.95)定理2得于线性无关.2．选择，使下述积分取得最小值解，令，得.令，得.3．设试用求一次最佳平方逼近多项式.解取权函数为(为了计算简便)，则,,,，，得法方程，解得，所以的一次最佳平方逼近多项式.8
6、．什么常数C能使得以下表达式最小？解，令，得.14．用最小二乘法求解矛盾方程组.解方法一方程组可变形为，原问题转化成在已知三组离散数据下求一次最小二乘逼近函数(x与y为一次函数的系数，t为自变量)，取基,求解法方程,即，得到矛盾方程组的解为.方法二方程组可变形为，令，令，得，解之得矛盾方程组的解为.习题47.对列表函数求解一阶微商用两点公式(中点公式),得二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求,由得一次插值函数从而,于是,8.导出数值数分公式并给出余项级数展开的主部.解由二阶微商的三点公式(中点公式),
7、得,从而将分别在处展开,得(1)－(2)×3+(3)×3－(4),得,即余项主部为习题5(P.299)3.设为对称矩阵，且，经高斯消去法一步后，A约化为，试证明亦是对称矩阵.证明设，其中，，，则经高斯消去法一步后，A约化为，因而，若为对称矩阵，则为对称矩阵，且，易知为对称矩阵.13.设(1)计算；(2)计算，及.解(1)计算,，其特征值为，又为对称矩阵，则的特征值为，因此；(2)，，所以，为对称矩阵，其特征值为，则的特征值为，因此所以15.设，求证（1）；(2).证明(2)由（1），得，则，从而，由算子范数的定
8、义，，得.17.设为非奇异阵，又设为上一向量范数，定义，求证：是上向量的一种范数（称为向量的W一范数）.证明①正定性，因为一向量，，下证，若即，由向量范数的正定性得，为非奇异阵，所以；若，则，由向量范数的正定性得即.②齐次性，任意实数有，由向量范数的齐次性，得；③三角不等式，任意实数，有，再由向量范数的三角不等式，得.习题6(P.347)1.设有方程组(b)，考查用Jacobi迭代法,
