第二单元函数和其性质.ppt

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1、第二单元函数及其性质知识体系第一节函数及其表示基础梳理1.函数的概念设A、B是非空的数集,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.其中,所有输入值x组成的集合A叫做函数的定义域;对于A中的每一个x都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域.3.两个函数相同函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域B和对应关系f.定义域和对应关系为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同

2、一个函数.4.常用的函数表示法(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.5.分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数称为分段函数.6.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射.记作“f:A→B”.典例分析题型一函数的概念【例1】判断下列各式中哪些可确定y是x的函数，为什么？(1)x2+y=1;(2)x+y2=1;解(1)、(4)可确定y是x的函数,（2）、（3）不能确定.（2）中,若x=0，则y=±1；(3)中,x∈.学后

3、反思（1）函数的概念中,集合A、B是非空的数集.（2）A中的每一个元素x在B中都有唯一的元素y与之对应.分析根据函数的定义分析.1.下图中可以是函数图象的是.解析:②中，当x>0时，每一个x值对应两个y值，故不是函数的图象.易知①、③、④是函数的图象.答案：①③④举一反三题型二判断两个函数是否相同【例2】试判断以下各组函数是否表示同一函数.分析根据定义域、值域和对应关系是否相同来判断.解(1)由,故它们的对应关系不相同,所以它们不是同一函数.(2)由于函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而的定义域为R,所以它们不是同一函数.(3)由于当n∈N*时,2n±1为奇数,∴,它们的定义域、值域

4、及对应关系都相同,所以它们是同一函数.学后反思对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应关系都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然.对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数.(4)由于函数的定义域为{x

5、x≥0},而的定义域为{x

6、x≤-1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数.举一反三2.下列四组函数,表示同一函数的是.解析：①中两函数定义域不同,②中两函数定义域不同,③中两函数定义域不同,④中两函数定义域相同，对应关系也相同.答案：④题型

7、三求函数解析式【例3】分析(1)用配凑法;(2)用换元法;(3)用方程组法.解学后反思函数解析式的常见求法有:(1)配凑法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.(3)换元法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)时，往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元，便可求解.(4)方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).(2)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数），比如二

8、次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件列出方程组,解出a、b、c即可.举一反三3.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);(2)已知解析：(1)设f(x)=ax+b(a≠0),由3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,得3［a(x+1)+b］-2［a(x-1)+b］=2x+17,∴ax+5a+b=2x+17，(2)设+4=t,则=t-4（t≥4）,∴f(t)=(t-4)2+8(t-4),即f(t)=t2-16(t≥4),∴f(x)=x2-16(x≥4).题型四分段函数的应用【例4】(14

9、分)我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%,若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应缴多少水费？分析在本题中，用水量（自变量x）属于不同范围时有不同的缴费办法，所以应分段计算水费.解用y表示本季