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时间:2020-08-02
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1、函数及其表示学习目标1.会求简单函数的值域,会求f(g(x))的定义域;2.会画简单函数的图像;重点难点1.求函数的值域的基本方法;2.函数表示法的应用;学法指导1.通过例题讲解,学会常见类型函数值域的求法;2.通过函数的图像求解参数的取值范围,体会数形结合思想的应用。类型一:函数值域的求解【典例1】(1)二次函数y=x2-4x+3在区间(1,4]上的值域是()A.[-1,+∞)B.(0,3]C.[-1,3]D.(-1,3](2)求下列函数的值域:【解题指南】(1)对二次函数y=x2-4x+3配方,根据x的范围,从而确定y的取值范围.(2
2、)①换元,令=t,转化为二次函数,根据t的范围,确定y的取值范围.②对y=分离出常数,再求取值范围.【解析】(1)选C.y=x2-4x+3=(x-2)2-1,因为13、y≥-1}.②因为y=又函数的定义域为R,所以x2+1≥1,所以0<≤2,则y∈(-1,1].所以所求函数的4、值域为(-1,1].【规律总结】求函数值域的原则及常用方法(1)原则:定义域优先.(2)常用方法:①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察法得到;②配方法:是求“二次函数”类值域的基本方法;③换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域;④分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数”的形式,便于求值域.【巩固训练】求函数y=的值域.【解析】y=显然≠0,所以y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).类型二:形如f(g(x))的函数的定义域问题【典例2】已知f(x)的5、定义域为[-2,3],求f(x-1)的定义域.【解题指南】f(x-1)的定义域即x的取值集合,由x-1∈[-2,3],可得x的范围.【解析】因为f(x)的定义域为[-2,3],令-2≤x-1≤3,解得-1≤x≤4.故f(x-1)的定义域为{x6、-1≤x≤4}.【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)若本例条件改为:已知f(x-1)的定义域为[-2,3],则f(x)的定义域是什么?【解析】因为f(x-1)的定义域为[-2,3],所以-2≤x≤3,所以-3≤x-1≤2,故f(x)的定义域为{x7、-3≤x≤2}.2.(变换条件)若把本例中条件“f8、(x)的定义域为[-2,3]”改为“f(x+1)的定义域为[-2,3]”,则f(x-1)的定义域是什么?【解析】由f(x+1)的定义域为[-2,3],得-2≤x≤3,所以-1≤x+1≤4,因此f(x)的定义域为{x9、-1≤x≤4}.由-1≤x-1≤4,得0≤x≤5.所以f(x-1)的定义域为{x10、0≤x≤5}.【规律总结】求形如f(g(x))的函数定义域的方法(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域,其解法为:由a≤g(x)≤b,得x的取值集合即为函数f(g(x))的定义域.(2)已知函数f(g(x))的定义域11、为[a,b],求函数f(x)的定义域,其解法为:由y=g(x),x∈[a,b],得函数g(x)值域即为函数f(x)的定义域.【巩固训练】已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x-1)的定义域为()A.(-1,1)B.C.(-1,0)D.【解析】选B.因为原函数的定义域为(-1,0),所以-1<2x-1<0,即所以函数f(2x-1)的定义域为.类型三:函数的图象及应用【典例3】作出下列函数的图象:(1)y=2x2-4x-3(0≤x<3).(2)y=【解题指南】(1)先作出y=2x2-4x-3的图象,然后在限定区间上截取即可.(12、2)在同一坐标系中分别作出y=与y=x的图象,然后分段截取即可.【解析】(1)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段.(如图所示)(2)这个函数的图象由两部分组成:当013、实心点还是空心点.【巩固训练】画出下列函数的图象:(1)y=2x+1,x∈[0,2].(2)y=x2-2x(-1≤x<2).【解析】(1)当x=0时,y=1;当x=2时,y=5.所画图象如图①
3、y≥-1}.②因为y=又函数的定义域为R,所以x2+1≥1,所以0<≤2,则y∈(-1,1].所以所求函数的
4、值域为(-1,1].【规律总结】求函数值域的原则及常用方法(1)原则:定义域优先.(2)常用方法:①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察法得到;②配方法:是求“二次函数”类值域的基本方法;③换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域;④分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数”的形式,便于求值域.【巩固训练】求函数y=的值域.【解析】y=显然≠0,所以y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).类型二:形如f(g(x))的函数的定义域问题【典例2】已知f(x)的
5、定义域为[-2,3],求f(x-1)的定义域.【解题指南】f(x-1)的定义域即x的取值集合,由x-1∈[-2,3],可得x的范围.【解析】因为f(x)的定义域为[-2,3],令-2≤x-1≤3,解得-1≤x≤4.故f(x-1)的定义域为{x
6、-1≤x≤4}.【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)若本例条件改为:已知f(x-1)的定义域为[-2,3],则f(x)的定义域是什么?【解析】因为f(x-1)的定义域为[-2,3],所以-2≤x≤3,所以-3≤x-1≤2,故f(x)的定义域为{x
7、-3≤x≤2}.2.(变换条件)若把本例中条件“f
8、(x)的定义域为[-2,3]”改为“f(x+1)的定义域为[-2,3]”,则f(x-1)的定义域是什么?【解析】由f(x+1)的定义域为[-2,3],得-2≤x≤3,所以-1≤x+1≤4,因此f(x)的定义域为{x
9、-1≤x≤4}.由-1≤x-1≤4,得0≤x≤5.所以f(x-1)的定义域为{x
10、0≤x≤5}.【规律总结】求形如f(g(x))的函数定义域的方法(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域,其解法为:由a≤g(x)≤b,得x的取值集合即为函数f(g(x))的定义域.(2)已知函数f(g(x))的定义域
11、为[a,b],求函数f(x)的定义域,其解法为:由y=g(x),x∈[a,b],得函数g(x)值域即为函数f(x)的定义域.【巩固训练】已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x-1)的定义域为()A.(-1,1)B.C.(-1,0)D.【解析】选B.因为原函数的定义域为(-1,0),所以-1<2x-1<0,即所以函数f(2x-1)的定义域为.类型三:函数的图象及应用【典例3】作出下列函数的图象:(1)y=2x2-4x-3(0≤x<3).(2)y=【解题指南】(1)先作出y=2x2-4x-3的图象,然后在限定区间上截取即可.(
12、2)在同一坐标系中分别作出y=与y=x的图象,然后分段截取即可.【解析】(1)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段.(如图所示)(2)这个函数的图象由两部分组成:当013、实心点还是空心点.【巩固训练】画出下列函数的图象:(1)y=2x+1,x∈[0,2].(2)y=x2-2x(-1≤x<2).【解析】(1)当x=0时,y=1;当x=2时,y=5.所画图象如图①
13、实心点还是空心点.【巩固训练】画出下列函数的图象:(1)y=2x+1,x∈[0,2].(2)y=x2-2x(-1≤x<2).【解析】(1)当x=0时,y=1;当x=2时,y=5.所画图象如图①
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