清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程三.ppt

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1、作业18.20.复习P220—245P236习题8.2P241习题8.33.5.6.7.12.16.7/30/20211第二十三讲常微分方程（三）二、常微分方程应用举例一、可降阶微分方程7/30/20212逐次积分一、高阶可降阶微分方程积分一次再积分一次7/30/20213变量替换原方程变形成为一阶7/30/20214特点是：不显含y[解]积分,得通解7/30/20215[解2]注意到方程的特殊性积分,得通解7/30/20216一阶变量替换原方程变形成为7/30/20217特点是：不显含x[解]方程化为分离变量积分7/30/20218分离变量解得7/30/20219列方

2、程的常用方法(1)利用物理定律列方程(2)利用导数的几何意义列方程(3)利用微元分析法列方程二、常微分方程应用举例7/30/202110[解]取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数.由牛顿冷却定律知初始条件7/30/202111另外还有一个条件:可用来确定比例常数k分离变量，得两边积分，得代入上式，得代入，得7/30/202112将T=30代入，解出即，还需再经过物体的温度即可降为7/30/202113[例2]已知曲线上任一点P(x,y)处的切线在x轴上的截距等于点P的横坐标的一半,且过定点(2,1),求此曲线的方程.[解]7/30/202114由题意得又已知曲

3、线过点(2,1),于是得到定解问题分离变量求得通解7/30/202115[例3]试设计一反光镜,使它能将点光源发出的光反射成为平行光[解]点光原位于坐标原点O,由点O发出的光线经反射都成为平行于x轴的平行光由光的反射定律7/30/202116于是有根据导数的几何意义得到微分方程一阶齐次变形为7/30/202117分离变量代入(1)式，得7/30/202118积分，得取指数7/30/2021197/30/202120[解]列方程，确定初始条件已知，在任何一段时间内容器内含盐改变量=流进盐量–流出盐量若溶液的浓度不变，则流出盐量=浓度流出的溶液量问题中，溶液的浓度始终在变

4、，如何解决?考虑微小时间间隔dt内的变化情况设时刻t时溶液的含盐量为7/30/202121当时间从t变到t+dt时，容器内的含盐量由Q变到Q+dQ，因而容器内含盐改变量为dQ从容器内流出的溶液量为2dt在时间dt内盐水的浓度近似看作不变，看作是t时刻的盐水浓度所以流出的盐量为7/30/202122于是有初始条件分离变量通解特解287/30/202123[解]此问题涉及水面高度随时间的变化规律根据水利学定律，流出速度7/30/202124考虑任意时刻t，任取时间区间[t,t+dt]在dt时间内，水面高度的改变为dh取时间t为自变量，水面高度h(t)为未知函数，并取坐标系如

5、图漏斗内水的体积改变量为7/30/202125下落水的体积=流出水的体积于是列出微分方程初始条件另方面,时间dt内从小孔流出水的体积等于以S为底，以(vdt)为高的小圆柱体积7/30/202126经整理得解得当水流完时，h=07/30/202127正交轨线问题7/30/202128思路：7/30/2021297/30/202130这就是正交曲线族！通解7/30/202131397/30/202132[解]7/30/2021337/30/202134[解]7/30/202135通解7/30/202136