现代数值计算方法第七章ppt课件.ppt

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1、第七章非线性方程迭代法求f(x)=0的根其中是连续的非线性函数。而方程按是多项式或超越函数又分别称为代数方程和超越方程。例如，代数方程超越方程已经证明，对于5次及5次以上的一元多项式方程不存在精确的求根公式，至于超越方程就更难求其精确解了。鉴于此，如何求得满足一定精度的方程的近似根，已成为广大科研工作者迫切需要解决的问题。本章要介绍：二分法，迭代法及其加速，牛顿法§7.1根的插索与二分法原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。7.1.1隔根区间在用近似方法求方程的根时，需要知道方

2、程的根所在的区间。如果在区间[a,b]内只有方程的一个根，则称区间[a,b]为隔根区间。通常可以用逐步扫描法来寻找隔根区间。算法的基本思想是：先确定方程的所有实根所在的区间[a,b]，再按选定的步长(n为正整数)，逐点计算处的函数值当与的值异号时，则即为方程的一个隔根区间。算法7.1(逐步搜索法)步1输入步2置步3while(循环开始)ifthenelsecontinue;(返回循环的入口)endend(循环结束)步4输出有根区间分别用向量x1，x2存放隔根区间的左、右端点检测下一个区间！检测下一个区间！functio

3、nmasearch(fun,a,b,h)%用途：搜索非线性方程f(x)=0的有根区间%格式：masearch(fun,a,b,h)fun为函数表达式，%a,b为区间左右端点，h为搜索步长n=(b-a)/h;a1=zeros(1,n);b1=zeros(1,n);aa=a;bb=aa+h;k=1;whilebb

4、i=1:kifa1(i)-b1(i)~=0[a1(i),b1(i)]endend例7.1试用逐步搜索法确定方程>>masearch(inline(‘x^3_x^2-3*x-3’),-3,3,0.6)得计算结果：ans=-1.8000-1.2000ans=-1.2000-0.6000ans=1.20001.8000即有三个根，分别在区间[-1.8,-1.2],[-1.2,-0.6],[1.2,1.8]的有根区间。容易看出，当时，保持符号不变，故其根必定全部落在区间[-3,3]内，即可初步确定取步长h=0.6,利用算法7.

5、1的通用程序masearch.m，在MATLAB窗口执行：7.1.2二分法及其程序实现二分法的基本思想是通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根区间缩小，从而可得到方程的近似根数列。具体地说，设为连续函数，又设方程的隔根区间为即记取其中点若则去掉右半区间，即令否则，去掉左半区间，即令一般地，记当前有根区间为取若则令否则，令再取一直做下去，直到满足精度为止。abx1x2ab什么时候停止?或不能保证x的精度x*2xx*算法7.2(二分法)步1由算法7.1得到隔根区间设定精度要求步2置步3若输出停算；否则，转步4；步4若则置否则

6、，置步5置若输出停算；否则，转步3。functionx=mabisec(fun,a,b,ep)%用途：用二分法求非线性方程f(x)=0有根区间[a,b]中的一个根%格式：x=mabisec(fun,a,b,ep)fun为函数表达式，%a,b为区间左右端点，ep为精度，x返回近似根x=(a+b)/2.0;k=0;whileabs(feval(fun,x))>ep

7、(b-a>ep)iffeval(fun,x)*feval(fun,a)<0b=x;elsea=x;endx=(a+b)/2.0;k=k+1;enddisp(['

8、k=',num2str(k)])>>mabisec(inline(‘x*exp(x)-1’),0,1,1e-5)得计算结果：k=16x=0.5714630126953即迭代16次后，得到满足精度的近似根。例7.2用二分法程序mabisec.m求方程在[0,1]内的一个实根，取定精度解在MATLAB窗口执行：误差分析：第1步产生的有误差第k步产生的xk有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：①简单;收敛②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根及重根②收敛慢7.1.3二分法的收敛性分析同时由知由此可知，

9、序列{xk}的收敛性与区间[a,b]无关，故对任给区间[a,b]，{xk}均收敛例7.3用二分法求方程在区间[1,2]内的根，使其精度达到两位有效数字。问需要将区间二分多少次？并求出满足精度的近似根。解根据(7.3)可以估计二分次数k的大小。设其中精度那么可求得取k=4即可，用公式(7.2)求解得具体过程如下kakbkxkbk-a