现代数值计算方法第二章ppt课件.ppt

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1、第二章解线性方程组的迭代法注：如果没有特别说明，下面总假定系数行列式的值其中且解线性方程组常用计算方法:直接解法：它是一类精确方法，即若不考虑计算过程中的舍入误差，那么通过有限步运算可以获得方程解的精确结果.Gauss逐步（顺序）消去法、Gauss主元素法、矩阵分解法等；利用法则求解时存在的困难是：当方程组的阶数很大时，计算量为迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解.经典迭代法有：迭代法、迭代法、逐次超松弛（SOR）迭代法等；§1预备知识定义设称（非负性)(齐次性)（对称性)为向量和的内积.以下是其性质(可加性)向量

2、范数向量范数定义Rn空间的向量范数

3、

4、·

5、

6、对任意满足条件：（非负性)对任意(齐次性)（三角不等式)常用向量范数：==niixx11

7、

8、

9、

10、

11、

12、==niixx122

13、

14、

15、

16、

17、

18、pnipipxx/11

19、

20、

21、

22、

23、

24、==

25、

26、max

27、

28、

29、

30、1inixx=注：设是在上的一个范数，则是的分量的连续函数.(了解)证明:对任何有其中是第个基向量.从而有引理1因而当时，即为的连续函数.（范数的等价性）对于中任意两种范数总存在常数和，使对一切都有（*）证毕定理证明我们只需证明任意范数与Euclid范数等价即可考虑单位球面它是中的有界闭集，据引理1，连续，

31、并且它在上达到最大值和最小值其中于是对于任何从而故时，（*）成立当时，（*）显然成立证毕对于常用的范数,,可以算出定义向量序列收敛于向量是指对每一个1in都有。可以理解为可以理解为对任何向量范数都成立。向量序列的收敛性矩阵范数定义Rmn空间的矩阵范数

32、

33、·

34、

35、对任意满足：（正定性)对任意(齐次性)（三角不等式)(4)*

36、

37、AB

38、

39、

40、

41、A

42、

43、·

44、

45、B

46、

47、（相容性，当m=n时)注：一般来说，如果下面的关系式成立

48、

49、AB

50、

51、

52、

53、A

54、

55、·

56、

57、B

58、

59、,则三种范数称为是相容的.常用矩阵范数：Frobenius范数—向量

60、

61、·

62、

63、2的直接推广

64、对方阵以及有利用Cauchy不等式可证。相容性范数由向量范数

65、

66、·

67、

68、p导出关于矩阵ARnn的p范数:则特别有：（行和范数）（列和范数）（谱范数）矩阵ATA的最大特征根（列和范数）解：按定义例已知矩阵求注：Frobenius范数不是相容性范数。我们只关心有相容性的范数，相容性范数总是相容的。即使A中元素全为实数，其特征根和相应特征向量仍可能是复数。将上述定义中绝对值换成复数模均成立。若不然，则必存在某个向量范数

69、

70、·

71、

72、v使得对任意A成立。反例?矩阵范数的等价定理：对、，存在常数和，使得：几种常用范数的等价关系：谱半径定义矩阵A的谱半径

73、记为(A)=，其中i为A的特征根。ReIm(A)故定理对任意相容性范数

74、

75、·

76、

77、有证明：由范数的相容性，得到将任意一个特征根所对应的特征向量代入定理若A对称，则有证明：A对称若是A的一个特征根，则2必是A2的特征根。又：对称矩阵的特征根为实数，即2(A)为非负实数，故得证。所以2-范数亦称为谱范数。其中为A中绝对值最大的特征根注：关于上述定理的逆命题，结论就没那么完善了，具体可参见书中Ｐ14，定理2.2!!!定理对任意的和任意正数，一定存在某种矩阵范数，使得(后面证明)定理若矩阵B对某个相容范数满足

78、

79、B

80、

81、<1，则必

82、有①可逆②证明：①若不然，则有非零解，即存在非零向量使得②求解思路将等价地改写为形式，建立迭代　。从初值出发，得到序列。计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵的方程组。研究内容：如何建立迭代格式？收敛速度？向量序列的收敛条件？误差估计？§2.1解线性方程组的迭代法的收敛条件充分条件:

83、

84、M

85、

86、<1必要条件:？定义设：AAkk=lim是指ijkijkaa=)(lim对所有1i,jn成立。等价于对任何相容范数有迭代法的收敛性对任意非零向量成立定理设存在唯一解，则从任意出发，迭代收敛0kM证明：Mk0

87、

88、Mk

89、

90、

91、0“”：对任意非零向量有“”：取则第i位对任意非零向量成立从任意出发，记，则ask收敛定理Mk0(M)<1证明：“”若是M的特征值,则k是Mk的特征值。则[(M)]k=[max

92、

93、]k=

94、mk

95、(Mk)

96、

97、Mk

98、

99、0(M)<1“”首先需要一个引理对任意>0,存在相容范数

100、

101、·

102、

103、使得

104、

105、A

106、

107、(A)+。由(M)<1可知存在相容范数

108、

109、·

110、

111、使得

112、

113、M

114、

115、<1。

116、

117、Mk

118、

119、

120、

121、M

122、

123、k0askMk0迭代从任意向量出发收敛Mk0(M)<1证明：对A做Jordan分解，有，其中，，i为

124、A的特征值。令，则有易证：是由导出的相容范数。所以只要取<，就有

125、

126、A

127、

128、<(A)+。定理（充分条件）若存在一个