第二十章建立数学建模案例分析.doc

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1、§15.4锁具装箱问题[学习目标]1.能表述锁具装箱问题的分析过程；2.能表述模型的建立方法；3.会利用排列组合来计算古典概型；4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。一、问题某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出

2、售。从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题：1．每批锁具有多少个，能装多少箱？2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。二、问题分析与建立模型因为弹子锁具的钥匙有5个槽，

3、每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。下面用一个5元数组

4、来表示一个锁具：Key=（h1，h2，h3，h4，h5）其中hi表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件：条件1：hi∈{1，2，3，4，5，6}，i=1，2，3，4，5。条件2：对于任意一种槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，至少有3种不同的槽高。条件3：对于任意一种槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，有

5、hi，hi-1

6、≠5，i=2，3，4，5。而两个锁可以互开的条件为：两个锁的钥匙有四个槽高相同，其中一个槽高相差为1。1．一批锁具个数的计算记一批锁具的集合为：K

7、={（h1，h2，h3，h4，h5）

8、hi∈{1，2，3，4，5，6}，i=1，2，3，4，5，且（h1，h2，h3，h4，h5）为一锁具}，其个数小于65，可采用逐个检验条件1，2，3的方法，求一批中的所有锁具，当然也可计算出其个数。2．抱怨程度的刻划在这里我们简单地用平均互开总对数来刻划抱怨程度，所以，关键是计算出顾客购买一箱或两箱时的平均互开总对数，这可以用计算机模拟去计算。我们引入下面的记号：P={（h1，h2，h3，h4，h5）

9、（h1，h2，h3，h4，h5）∈K，且为偶数}Q={（h1，h2，h3

10、，h4，h5）

11、（h1，h2，h3，h4，h5）∈K，且为奇数}则可得到P中的锁具不能互开，Q中的锁具不能互开，P中的锁具与Q中的才能互开。在计算中，判断互开时，我们将P和Q中的锁具分别标号为0，1，这样就减少了判断时的计算，大大提高了计算速度。说明：直接用平均互开总对数来刻划抱怨程度有一定的不合理性。因为这样来刻划，购买的箱数越多，抱怨程度就越大，而实际上，购买的越多，自然互开的可能性就越大，这是顾客意料之中的，不应有太多的抱怨，顾客所不能容忍的是在购买少量的锁具而出现互开现象。因此应把购买箱数作为一个因素考

12、虑到抱怨函数中。理想的抱怨函数应该是，开始随购买量的增加而增加，到一定量后下降，这才合理。在这里，我们的主要任务是模拟求解，而简单地用平均互开总对数来刻划抱怨程度。一、计算过程计算流程如下：1．对（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列逐个检验条件2、条件3，判断其是否为锁具，将锁具放在数组key中，若为奇数，标号为1，若为偶数，标号为0，并计数count。2．输出一批锁具的总个数count。3．多次用随机数来模拟销售一箱的情况，计算平均互开总对数。4．输出一箱平均互开总对数average。注意：以上流程略去

13、了某些细节，具体的细节可参看下面的程序。对上流程稍加修改，可用于研究2，3，4箱等的平均互开总对数。程序对（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列逐个检验条件2、条件3时要进行两次判断，一次是判断（h1，h2，h3，h4，h5）是否有3个不同的数，另一次是相邻槽高之差是否为5。在前一次判断时，采用了比较简捷的方法，请仔细考察。找（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列，实际上可用五