第二十二讲 定积分的概念ppt课件.ppt

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1、第六章积分学不定积分定积分定积分第一节一、定积分的实际背景二、定积分的概念三、定积分的几何意义定积分的概念四、定积分的性质一、定积分实际背景1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积称为最大小区间长将所有小矩形面积全部加起来，即观察下

2、列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度n个小段过的路程为。3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特定乘积和式的极限二、定积分的概念任取分点即特定乘积和式的极限积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和两个实际问题的积分表示为:曲边梯形面积变速运动路程

3、读作f(x)从a到b的定积分.1.定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即关于定积分的说明:2.定义中曾要求积分限a

4、相对位置任意时,例如则有性质4.若在上则设则性质5(积分估值性质)将常数因子提出设则性质5(积分估值性质)该性质的几何解释是：曲线y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积介于与区间[a,b]长度为底，分别以m和M为高的两个矩形面积之间.y=f(x)yxabmMOBA例2.试估计证:设求在上的最大值和最小值.比较在驻点及区间端点处的函数值故即的值.性质6.积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质5可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因小结1.定

5、积分的概念两个实例定积分的定义3.定积分的性质曲边梯形的面积变速直线运动的路程2.定积分的几何意义曲边梯形的面积的代数和性质６　积分中值定理思考题问下面两个式子是否均成立，为什么？1.若当≤≤x≤b,有作业P17练习.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取[注]利用得两端分别相加,得即1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推证下列积分的值：思考题问下面两个式子是否均成立，为什么？2.若当≤≤x≤b,有例1：解：xyf(x)=sinx1-1