第四节、函数展开成幂级数ppt课件.ppt

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1、第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数机动目录上页下页返回结束第十二章引言幂级数1、有简单的收敛域；2、其和s(x)在（-R,R）内有良好的性质；3、其形式便于上机计算。问题：用来研究函数f(x)一、泰勒级数求幂级数的和函数得存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数.问题:2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?复习Taylor公式定义Taylor级数定理1证证毕Maclaurin级数Taylor级数定理2.若f(x

2、)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.机动目录上页下页返回结束定理2’证二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)第一步第二步第三步第四步例1解如图，例2解例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,则为避免研究余项,设此级数的和函数为称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中

3、的二项式定理.由此得双阶乘2.间接展开法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法，求展开式.例如例4解因为例5解例6解例7解例8解因为例9解因为所以例10解因为所以例11解例12解例13解例14解例15证内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.机动目录上页下页返回结束当m=–1时机动目录上页下页返回结束