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1、现代控制理论第九讲王凯明长安大学理学院数学与信息科学系系主要内容:1、系统的能观性定义2、线性定常系统能观性判别3、离散时间系统的能控性和能观性4、对偶关系和对偶原理5、能控标准型6、能观标准型3—3线性连续定常系统的能观性一、定义系统方程为：若对任意给定的输入u(t)，总能在有限的时间段[t0,tf]内，根据系统的输入u(t)及系统观测y(t)，能唯一地确定时刻t0的每一状态X(t0)，那么称系统在t0时刻是状态可观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统状态是完全能观测的。说明：1、能观性表示的是输出y(t)反映状
2、态矢量x(t)的能力；2、从输出方程可以看出，当m=n时且C为非奇异矩阵时，x(t)与y(t)关系非常简单。一般情况m=t0,以保证能构成n个方程式和相对独立性；3、在定义中把能观性定义为对初始状态是确定的，是因为一旦确定了初始状态，便可以根据给定的控制量，利用状态转移方程：求出各个瞬时的状态。二、定常系统能观性的判别1、转换成为约旦标准型的判别方法（1）A为对角型矩阵线性定常系统的状态空间表达式为：系统矩阵为对角型时系统能观的充要条件（2）A为约旦标准型矩阵在系统矩阵A为对角型的情况下,系统能观的充
3、要条件是输出矩阵C中没有全为零的列。若第i列全为零，则与之对应的状态变量为不能观。以三阶系统为例状态方程的解系统矩阵为约旦标准型时系统能观的充要条件2、直接从A、C矩阵判别系统的能观性定理：系统定常系统完全能观的充要条件是能观性判别阵的秩为n。【例】判别下面系统的可观测性在系统矩阵为约旦标准型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列元素不全为零。∵Rank（N）=2＝n，∴系统可观。解：3—4离散时间系统的能控性与能观性一、离散时间系统的能控性定理：单输入n阶离散能控的充要条件是，能控判别阵：的秩
4、等于n即：【证】：因为系统为一线性系统，根据离散时间系统能控性定义不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。根据离散状态方程的解：从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要条件是:满秩，即:【例】设离散系统状态方程如下，判断系统的可控性。解：所以系统能控判别阵满秩，系统可控定理：考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为：其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶输入矩阵。那么离散系统能控的充要条件
5、是：能控判别阵的秩等于n。【例】已知某离散系统的系统矩阵G和输入矩阵H分别为：试分析系统可控性。解：从M阵的前3个列明显看出，Rank（M）=3=n，即满秩，所以系统可控。二、离散时间系统的能观性系统:系统输出:系统完全能观的充要条件是能观性判别矩阵:或即:3—6能控性与能观性的对偶关系利用对偶关系可以把系统能控性分析转化为其对偶系统的能观性分析一、线性系统的对偶关系1、两个线性系统互为对偶系统的定义设系统∑1的动态方程为:系统∑2的动态方程为:若∑1，∑2满足:则称∑1和∑2互为对偶系统。2、互为对偶系统的主要特点（1）模
6、拟结构图如果将∑1模拟结构图中将信号线反向，输入端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成的就是∑2的模拟结构图。（2）对偶系统的传递函数阵互为转置所以若∑1，∑2为单入单出（SISO）系统，那么有（3）对偶系统特征方程式相同即和是等价的。二、对偶原理若系统∑1＝（A1,B1,C1,）和∑2＝（A2,B2,C2,）互为对偶系统，则∑1的可控性等价于∑2的可观性；∑1的可观性等价于∑2的可控性。所以Rank（N2）=Rank（M1），也即则∑1的可控性等价于∑2的可观性。3－7系统能控
7、标准型和能观标准型一、单输入系统能控标准型控制系统的能控标准型有两种形式，分别称之为能控Ⅰ型和能控Ⅱ型。对于能控Ⅰ型∑c1（Ac1,bc1,Cc1）,其各矩阵的形式为：对于能控Ⅱ型∑c2（Ac2,bc2,Cc2）,其形式为：注意：Cc1中的βi与Cc2中的βi不是同一数值。∑c1（Ac1，Bc1，Cc1）能控性可控判别阵
8、M
9、≠0，所以系统∑c1始终是可控的。可类似证明系统∑c2也是始终是可控的。因为这种形式的动态方程肯定是可控的，所以系统：∑c1（Ac1，Bc1，Cc1）和∑c2（Ac2，Bc2，Cc2）被称之为能控型。二
10、、普通状态空间表达式化为能控标准Ⅰ型定理：对于单输入单输出，状态空间表达式为：如果系统是可控的，即Rank[b,Ab,…,An-1b]满秩，那么可以通过非奇异矩阵：将系统∑（A，B，C）变换成可控Ⅰ型∑c1（Ac1，Bc1，Cc1）ai(i=0，1，2，…，n-1)是系统特征多项式的系数，
