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1、第二章.控制系统的数学模型确定控制系统输入量与输出量之间的量化关系及控制系统的过度过程.§2-1传递函数的基本概念一.拉氏变换1.拉氏变换的概念设有一实数f(t),(t≥0），而且积分在 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为：:例如：阶跃函数的变换式为：常用函数的拉氏变换为：脉冲函数：单位阶跃函数：指数函数：速度函数： 其它可查表．2.拉氏变化的性质⑴线性性质⑵微分性质⑶积分性质⑷延迟性质3.拉氏逆变换拉氏逆变换也可通过相应的积分公式进行计算,通常是通过拉氏变换表获得。例如,有一函数的
2、拉氏变换为为了获得其拉氏逆变换,应首先改写成部分分式和,即二．传递函数１．传递函数的定义线性定常系统在初始条件为零的情况下，其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比．如图2-1-1所示：图2-1-1RC电路为电路的输入量， 为电路的输出量．根据电路基本原理， 与 之间的函数关系为：设初始条件为零， ，则：传递函数即为：在复数域电路输出：设某一控制系统的线性定常数微分方程为：则拉氏变换为:则控制系统的传函数为;对上式可改写为:其中,称为系统特征方程.为的根,称为极点.为的根,称为零点.如某系统特征方程中的S
3、最高次数是n，则称系统为n阶系统．２．传递函数的性质①传递函数与系统或环节的微分方程是一一对应的，是复数域的数学模型．传递函数反映系统或环节的运动形式．即反映了系统或环节本身的固有特性，与其存在的形式和输入输出信号的形式无关②Ｇ(s）中的各项系数，即取决于系统中的元件的参数．③传递函数的零点和极点可能是实数，也可能是复数．若为复数，则必为共轭复数成对出现．④在实际系统中，Ｇ(s)是复变量s的有理分式，即总有n≥m ,因为若Ｎ＜m，则在Ｇ(s)中至少会出现s的一次项．例如若Ｇ（s)＝s，且系统输入为单位阶跃信号x(t)
4、=1，则 ,为单位脉冲函数,在实际中是不存在的．⑤传递函数的拉氏逆变换实际上是系统的理想单位脉冲中的响应．设系统的输入为 ，即x(s)=1,则系统的输出为:,对求拉氏逆变换得到系统的输出响应y(t).由此可见,系统的脉冲响应实际上是系统传递函数的拉氏逆变换.３传递函数的用途量化系统或环节输入输出之间的函数关系及特征参数．例如：某控制系统的微分方程为；为输出量 为输入量K和T为常数，设初始条件为零,对上述进行拉氏变换，得：若在 时，给系统施加一个单位阶跃信号，即 查表则输出量的拉氏变换
5、函数为：对上述进行逆变换，得：得出一阶系统的阶跃响应是一条指数曲线，如图2-1-2所示若在时加一个脉冲函数,即:得:图2-1-2一阶系统的单位阶跃响若在加一个速度函数,即:则:由此得出G(s)决定了控制系统的固有特性,有一个f(t)输入就有一个输出.四．传递函数方块图将一个环节用方框图来表示，并将其传递函数写在方块中便得到该环节的传递方块图如２-1-3所示：在图中 为环节输入的拉氏变换；为环节输出的拉氏变换；G(s)为环节的传递函数．图2-1-3环节的传递函数方框图将反馈控制系统用传递方框来描述为，如２-1-4所示
6、：图2-1-4反馈控制系统传递函数方框图组成传递方框图的基本元素：①函数方框②信号线③引出点④汇合点５．传递方块图的等效变换①串联方框图的等效变换如图2-1-5所示；图2-1-5串联方框的等效变换因而等效传递函数 即串联方框的等效传递函数为各串联方框传递函数的乘积．②并联方框的等效变换如图2-1-6所示．图2-1-6并联方框的等效变换即并联方框的传递函数为各并联方框传递函数的代数和．③反馈连接的等效函数,如图2-1-7所示:图2-1-7反馈连接的等效变换图(a)所示为具有反馈连接的传递函数方框
7、图,图(b)为反馈连接的等效方框图.推导如下:整理可得闭环系统的传递函数为:分母中的”+”号对应负反馈,”-”号对应正反馈.式中称为开环传递函数,而称为闭环传递函数.如，则称为单位反馈.因此,单位反馈的等效传递函数为：④信号引出点的移动引出点的移动必须遵守移动前后引出点所引出的信号保持不变的原则．a.相邻的两个引出点可以任意交换位置，如图2-1-8所示：b.引出点逆向跨过某一环节移动时,应在引出点有分支上乘以所跨过环节的传递函数，如图2-1-9所示：c.引出点顺着跨过某一环节时，应在引出点的分支除以所跨过环节的传递函
8、数，如图2-1-10所示：注意：引出点和汇合点不能相互交换位置．G(s)C(s)1/G(s)⑤.信号汇合点的移动a.相邻的两个汇合点可以任意交换位置如图2-1-11所示：b.汇合点逆着信号方向跨过某一环节时，应在相应的分支上除以所跨过环节的传递函数如图2-1-12所示：c.汇合点顺着信号方向跨过某一环节时，应在相应的分支上乘以所跨过环节的传递函
