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时间:2020-09-27
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1、选修4-5不等式选讲第二节不等式的证明、柯西不等式与平均值不等式抓基础提能力明考向[备考方向要明了]一、比较法1.求差比较法知道a>b⇔a-b>0,a<b⇔a-b<0,因此要证明a>b,只要证明即可,这种方法称为求差比较法.a-b>0二、分析法从所要证明的出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.三、综合法从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理,论证而得出命题成立,这种证明
2、方法称为综合法即“由因寻果”的方法.结论四、放缩法在证明不等式时,有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.这种方法称为放缩法.五、反证法的步骤1.作出否定的假设;2.进行推理,导出;3.否定,肯定.结论矛盾假设结论(ac+bd)22.柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则
3、α
4、
5、β
6、≥
7、α·β
8、,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立.1.综合法与分析法的内在联系综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理清楚.当问题比较复杂时,通常把分析法
9、和综合法结合起来使用,以分析法寻找证明的思路,而用综合法叙述、表达整个证明过程.2.放缩法证明不等式的理论依据主要有(1)不等式的传递性;(2)等量加不等量为不等量;(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.注意:放缩要适度,“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析,多次尝试得出.[精析考题][例1](2011·福建高考)设不等式
10、2x-1
11、<1的解集为M.(1)求集合M;(2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.[自主解答](1)由
12、2x-1
13、<1,得-1<2x-
14、1<1,解得0<x<1,所以M={x
15、0<x<1}.(2)由(1)和a,b∈M可知0<a<1,0<b<1.所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0,故ab+1>a+b.本例条件不变,试比较logm(ab+1)与logm(a+b)(m>0且m≠1)的大小.解:∵0<a<1,0<b<1,∴(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.故ab+1>a+b.当m>1时,y=logmX在(0,+∞)上递增,∴logm(ab+1)>logm(a+b)当0<m<1时logmX在(0,+∞)上单调递减
16、,∴logm(ab+1)<logm(a+b).[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)[冲关锦囊]比较法证明不等式最常用的是作差法,其基本步骤是(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.[精析考题][例2](2011·安徽高考)(1)设x≥1,y≥1,证明x+y+≤++xy;(2)设1<a≤b≤c,证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.[
17、巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)4.(2012·南通二调)设x,y,z为正数,求证:2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).证明:因为x2+y2≥2xy≥0,所以x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)≥xy(x+y),同理y3+z3≥yz(y+z),z3+x3≥zx(z+x),三式相加即可得2(x3+y3+z3)≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x),又因为xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=x2(y+z)+y2(x+z)+z
18、2(x+y)所以2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).2.分析法证明不等式的注意事项:用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析法的过程仅需要寻求充分条件即可,而不是充要条件,也就是说,分析法的思维是逆向思维,因此在证题时,应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)点击此图进入
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