高二数学选修课件：3-2-4二面角及其度量.ppt

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1、1．知识与技能掌握二面角的有关概念．能够求二面角的大小．2．过程与方法通过二面角的平面角的空间模型，培养空间想象能力．3．情感态度与价值观建立学习空间向量的自信心、培养学习数学的兴趣．重点：能够找出二面角的平面角，求二面角的大小；利用二面角的面的法向量求二面角的大小．难点：在适当位置找出二面角的一个平面角以及判定二面角的大小与法向量夹角之间的大小关系．1．二面角平面角的作法(1)定义法由二面角平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点．求解用到的解三角形知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就

2、构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．二面角的求法(1)几何法：其步骤为：①作(找)出二面角的平面角；②写出(或证明)作(找)平面角的过程；③计算：利用解三角形知识求解．(2)向量法方法一：分别在二面角α—l—β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用〈n1，n2〉度量这个二面角的大小．1．从一条直线出发的________所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的________，每个平面叫做二面角的________，棱

3、为l，两个面分别为α，β的二面角记为________．2．一个平面________于二面角α—l—β的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则________叫做二面角α—l—β的平面角．3．平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成________的两个平面，叫做相互垂直的平面．4．二面角的平面角，它的两边在________内，且都________于棱，两个条件缺一不可．5．本节约定，二面角的范围是________．[答案]1.两个半平面　棱　面α—l—β2．垂直　∠AOB3．直角　直二面角4．二面角

4、两个面　垂直5．(0，π)[例1]如图：ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A—VB—C的大小．[说明]　(1)所谓定义法，就是在二面角的棱上取一适当点作出平面角，然后解三角形即可(或者作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线构成的角)．(2)求二面角的步骤：①作(找)出二面角的平面角；②写出(或证明)所作平面角即为所求二面角的平面角；③利用解三角形的知识求解．[解析]∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥面ABC.∴AC为SC在底面ABC上的射影．又∠ACB＝90°，∴SC⊥BC.∴∠SC

5、A为二面角S—BC—A的平面角．[例2]如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小．[分析]　解答本题可首先求出平面PCD和平面PAB的法向量，再求其夹角大小，然后转化为平面PCD与平面PAB夹角的大小．在本例中求二面角A—PB—D的大小．[例3]　如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为m的正方形，侧棱AA1的长为n，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求二面角A1－AB－D的余弦值．[分析]　由于不易建立空间直角坐标

6、系，故可借助于向量所成的角，求二面角大小．[解析]如图，过A1作A1E⊥BA交BA的延长线于点E，∵ABCD为正方形，如图所示，甲站在水库底面上的点A，乙站在水坝斜面上的点B.从A、B到直线l(库底与水坝CD的交线)的距离AC和BD分别是a和b，CD长度为c，甲乙之间拉紧的绳长为d.求库底水坝所成二面角的余弦值．[例4]　正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B(如图②)．在图②中求平面ABD与平面EFD所成二面角．[辨析]求二面角大小，一要注意准确

7、计算，二要注意观察二面角是锐角还是钝角，以确定求出来的余弦值是正还是负．一、选择题1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)A．l∥αB．l⊂αC．l⊥αD．l⊂α或l∥α[答案]D[解析]因为a·b＝0，所以a⊥b，故选D.2．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的角的度数为(　　)A．30°　　　B．45°C．60°　　　D．90°[答案]B[解析]∠DPA为二面角平面角，而在Rt△PAD内，∠APD＝45°.故选B.3．如图正方体ABCD

8、－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD的夹角的余弦值为(　　)[答案]B二、填空题4．正方体AC1中平面ABCD与平面A1BCD1的夹角为________．[答案]45°[解析]∠A1BA为平面角．5．在