高等数学随堂讲义微分中值定理及其应用拉格朗日定理和函数的单调性ppt课件.ppt

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1、一、罗尔定理与拉格朗日定理中值定理是联系与f的桥梁.有了中值定理,就可以根据在区间上的性质来得到f在该区间上的整体性质.§1拉格朗日定理和函数的单调性数学分析第六章微分中值定理及其应用二、函数单调性的判别*点击以上标题可直接前往对应内容定理6.1（罗尔中值定理）罗尔定理与拉格朗日定理那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点,使(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开区间(a,b)上可导;(iii)f(a)=f(b).后退前进目录退出罗尔定理与拉格朗日定理(1)几何意义据右图,平的.一点处的切线也是水看出,曲线上至少有由几何直

2、观可以所以线段AB是水平因为f(a)=f(b),的.罗尔定理与拉格朗日定理(2)条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不在[0,1]上满足条件(ii)和一定成立.数在(0,1)上的导数恒为1.但条件(i)不满足,该函(iii),罗尔定理与拉格朗日定理结论不成立.满足条件(i)和(iii),条件(i)和(ii),满足处不可导),(ii)却遭到破坏(f在x=0内的导数恒为1.却遭到破坏,但条件结论也不成立.但条件(iii)该函数在(0,1)罗尔定理与拉格朗日定理结论也不成立.-1O121234条件都不满足,f(0)=0.理的三

3、个条件是充分条件,而不是必要条件.却仍有这说明罗尔定罗尔定理与拉格朗日定理下面证明定理因为f(x)在[a,b]上连续,小值m.f(x)在[a,b]上能取得最大值M和最所以由连续函数的最大、最小值定理,下面分两种情形加以讨论.情形1M=m.f()=0.此时可在(a,b)内随意取一点,就有此时f(x)恒为常数,它的导函数恒等于零,罗尔定理与拉格朗日定理情形2m

4、.例1设p(x)是一个多项式,且方程p'(x)=0没有实证重数为1.根,则方程p(x)=0至多有一个实根，且这个根的罗尔定理与拉格朗日定理矛盾.定理6.2（拉格朗日中值定理）设函数f(x)满足：(i)f(x)在闭区间[a,b]上连续;(ii)f(x)在开区间(a,b)内可导.那么在开区间内(至少)存在一点,使得可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.罗尔定理与拉格朗日定理几何意义如右图，用平行推移的方法,曲线上至少在一点连线的斜率为y=f(x)的两个端点A,B处的切线与AB平行,曲线其斜率也等于罗尔定理与拉格朗日定理定理的证明设可以验

5、证F(x)满足罗尔定理的三个条件,使即所以罗尔定理与拉格朗日定理罗尔定理与拉格朗日定理拉格朗日公式有几个等价的表示形式：读者可以根据需要选用.另外，拉格朗日公式对b

6、拉格朗日定理例2设f(x)在区间I上可微,且,则函数f(x)在区间I上一致连续.证对于任意正数,故在I上一致连续.取对任意的只要,便有罗尔定理与拉格朗日定理例3证明:证设显然　　在区间上满足拉格朗日定理的条件，注例3中的不等号可以成为严格的.和时,显然不为零,故有事实上,当严格不等式成立.罗尔定理与拉格朗日定理当　时，罗尔定理与拉格朗日定理例4.证明等式证设由推论1可知令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:注要证时只需证在I上罗尔定理与拉格朗日定理例5设在区间　　　上可微,且求证:证任取,由中值定理,从而因为,所以罗尔定理与

7、拉格朗日定理中值点的讨论.显然,与x有关,当　　　　时,却未必也趋2.若　　在上可微,上连续,意向于.而不是1.一般来说,中值点,仅指,则对任罗尔定理与拉格朗日定理因例6设由拉格朗日中值定理变为123456789100.20.4当x趋于　时,不趋于,而是趋于1.罗尔定理与拉格朗日定理3.若f(x)在(a,b)上可微,[a,b]上连续,存在容易猜测.这实际上是不成立的.请看下面的例题.当时,必有.则对于任意从等式使罗尔定理与拉格朗日定理例7设易见f满足拉格朗日中值定理的条件,约去x,因此对每个x>0,存在使罗尔定理与拉格朗日定理我们得到

8、由于,有因罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别改为严格不等号,则相应地称它为严格增(减).下面的定理是本节中的两个主要定理,今后将不若函数断地使用.若“”函数单调性的判别定理6.3证即函数单调性的判别定理6.4可微函数