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时间:2020-09-28
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1、第三章统计案例回归分析的基本思想及其初步应用1、求回归直线方程的步骤:(3)代入公式(4)写出直线方程为y=bx+a,即为所求的回归直线方程。^(1)画散点图例1从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。3、从散点图还看到,样本点散布在某一条直线的附近,而不是在一条直线上,所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。思考产生随机误差项e
2、的原因是什么?我们可以用下面的线性回归模型来表示:y=bx+a+e,其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差。思考产生随机误差项e的原因是什么?随机误差e的来源(可以推广到一般):1、其它因素的影响:影响身高y的因素不只是体重x,可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素;2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差;3、身高y的观测误差。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号假设随机误差对体重没有影响,也就是说,体重仅受身高的影响,那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是,在
3、图中,数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近,所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了。在例1中,残差平方和约为128.361。因此,数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应,称为残差。例如,编号为6的女大学生,计算残差为:对每名女大学生计算这个差异,然后分别将所得的值平方后加起来,用数学符号称为残差平方和,表示为:类似于方差的定义表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义:然后,我们可以
4、通过残差来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性,作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数据,或体重估计值等,这样作出的图形称为残差图。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择;若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域;对于远离横轴的点
5、,要特别注意。身高与体重残差图异常点错误数据模型问题几点说明:第一个样本点和第6个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因。另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是R2越接近1,表示回归的效果越好(因为R2越接近1,表示解析变量和预报变量的线性相关性越强)。如果某组数据可能采取几种不同回归方
6、程进行回归分析,则可以通过比较R2的值来做出选择,即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说:相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中,它代表自变量刻画预报变量的能力。例关于x与y有如下数据:有如下的两个线性模型:(1);(2)试比较哪一个拟合效果更好。x24568y3040605070第一个好一般地,建立回归模型的基本步骤为:(1)确定研究对象,明确哪个变量是解析变量,哪个变量是预报变量。(2)画出确定好的解析变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)。(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线
7、性回归方程y=bx+a).(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)。(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大,或残差呈现不随机的规律性,等等),过存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等。案例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中:(1)试建立产卵数y与温度x之间的回归方程;并预测温度为28oC时产卵数目。(2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化?温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325选变量解:选取气温为解析变量x,产卵数为预报变量y。画散点图
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