全国高中数学联赛试题新规则.doc

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1、全国高中数学联赛考试范围（二试：平面几何、代数、数论、组合数学）1.平面几何　　补充要求：面积和面积方法。几个重要定理：（1）梅涅劳斯定理：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。（2）塞瓦定理：在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其

2、逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。（1）托勒密定理：（2）西姆松定理。　　几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。　　几何不等式。　　简单的等周问题。了解下述定理：　　在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。　　在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。　　在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。　　在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。　　几何中

3、的运动：反射、平移、旋转。　　复数方法、向量方法。平面凸集：直观上凸的图形。凸包：一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形，这就是凸包问题了。2.代数　　周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。　　三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。　　第二数学归纳法。　　递归，一阶、二阶递归，特征方程法。　　函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。　　n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。　　复数的指数形式，欧拉公式（e^iπ+1=0），棣莫佛定理（），单位根，单位根的应用。　　圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。　　一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系

4、，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。3.立体几何　　多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。　　正多面体，欧拉定理。　　体积证法。　　截面，会作截面、表面展开图。4.平面解析几何　　直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。　　二元一次不等式表示的区域。　　三角形的面积公式。　　圆锥曲线的切线和法线。　　圆的幂和根轴。5.其他　　抽屉原理。容斥原理：n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m∑n(Ai∩Aj)1≤

5、i≤j≤m+∑n(Ai∩Aj∩Ak)－…+(-1)^m-1)n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩:重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩　　极端原理。　　集合的划分。　　覆盖。　　梅涅劳斯定理　　托勒密定理　　西姆松线的存在性及性质。　　赛瓦定理及其逆定理。