2016高中数学精讲优练课型第二章基本初等函数(I)2.3幂函数课件新人教版必修1.ppt

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1、2.3幂　函　数【知识提炼】1.幂函数的概念函数_____叫做幂函数,其中自变量是__,___是常数.y=xαxα2.幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象:(2)幂函数的性质:幂函数y=xy=x2y=x3y=x-1定义域_______________________________值域___________________________________奇偶性____________________单调性___x∈[0,+∞),___x∈(-∞,0],_________x∈(0,+∞),___x∈(-∞,0),___公共点都经过点______RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)

2、R[0,+∞)R[0,+∞){y

3、y∈R且y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增增减增增减减(1,1)【即时小测】1.思考下列问题(1)二次函数都是幂函数吗?判断的依据是什么?提示:不一定.如y=5x2,y=x2-3都不是幂函数,只有二次项系数为1,无一次项和常数项的二次函数才是幂函数.判断的依据是函数解析式要符合幂函数解析式的结构特征.(2)幂函数的图象是否可以出现在坐标平面内的任意象限?提示:不能.因为当x>0时,xα>0,因此图象不能出现在第四象限.2.下列所给的函数中,是幂函数的是()A.y=2x5B.y=x3+1C.y=x-3D.y=3x【解析】选C.选项C符合y=xα的形式,对于A系数不为

4、1,B中含有常数项,而D是指数函数.3.若y=ax3+(2b+4)是幂函数,则a-b的值为()A.-1B.1C.-3D.3【解析】选D.由于y=ax3+(2b+4)是幂函数,则解得a=1,b=-2,故a-b=3.4.已知幂函数y=xα的图象经过点(2,16),则f(-3)=.【解析】由于幂函数y=xα的图象经过点(2,16),即2α=16,解得α=4,故f(-3)=(-3)4=81.答案:81【知识探究】知识点1幂函数的概念观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:判定一个函数是否是幂函数应依据哪些特征?问题2:幂函数和指数函数有哪些区别?【总结提升】1.幂函数解析式的结构特征(1)指数为常

5、数.(2)底数是自变量.(3)幂xα的系数为1.2.幂函数与指数函数的比较式子名称常数xy指数函数:y=ax(a>0且a≠1)a为底数指数幂值幂函数:y=xαα为指数底数幂值知识点2幂函数的图象及性质观察图形,回答下列问题:问题1:观察上述图象.在第一象限,它们有何特点?问题2:这些图象有何对称性?奇偶性如何?【总结提升】1.幂函数y=xα在第一象限内的图象特征(1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸).(2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点).(3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸).(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点).(5)指数小于0,在第

6、一象限为双曲线型.五个幂函数在第一象限内的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖小横”即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型(α>1时的图象是竖直抛物线型,0<α<1时的图象是横卧抛物线型);α<0时的图象是双曲线型.2.五个幂函数的奇偶性幂函数y=x,y=x3,y=x-1为奇函数;幂函数y=x2为偶函数;幂函数y=为非奇非偶函数.3.幂函数三个常用的性质(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且图象都过点(1,1).(2)α>0时,幂函数的图象经过原点,并且在区间(0,+∞)上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸.(3)α<0时,幂函数的

7、图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.【题型探究】类型一幂函数的概念【典例】1.下列函数:①y=;②y=;③y=2x4;④y=x3-2;⑤y=(x+1)2;⑥y=x;⑦y=ax(0

8、:应使m2-2m+2=1.【解析】1.选B.②⑦为指数函数;③中系数不为1;④中的解析式为多项式;⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.2.由于f(x)=(m2-2m+2)为幂函数,故m2-2m+2=1,解得m=1,所以f(x)=x2,则f(-3)=9.答案:9【延伸探究】若典例2中的函数“f(x)=(m2-2m+2)”改为“f(x)=(m2-m-1),且此函数为奇函数”,则f(-3)的值应为多少?【解析