2017-2018学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1.2 分析法 新人教A版选修2-2ppt课件.ppt

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1、第2课时分　析　法主题　分析法证明不等式:成立,可用下面的方法进行.证明:要证明由于只需证明展开得只需证明6<7,显然6<7成立.所以成立.据上面的内容,回答下列问题:(1)本题证明从哪里开始?提示:从结论开始.(2)证题思路是什么?提示:寻求每一步成立的充分条件.结论:1.分析法的定义一般地,从要证明的_____出发,逐步寻求使它成立的_________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个_________的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法,又叫逆推证法或执果索因法.结论充分条件明显成立2.分析法的流程其中Q表示要

2、证明的结论,P1,P2,P3,…,P分别表示使Q,P1,P2,…,Pn成立的_____条件,P表示最后寻求到的一个明显成立的条件.充分【微思考】1.分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理?提示:分析法的推理过程是演绎推理,因为分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理,从而得到的结论都是正确的,不同于合情推理中的猜想.2.分析法的证题思路是什么?提示:分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知,即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发,一步一步探索下去,最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件,或者是可以证明的条件.3.分析法证题的模式一般是什么?提示

3、:“要证……”“只需证……”“即证……”的语言模式.【预习自测】1.证明不等式,比较适合的方法是()A.综合法B.分析法C.放缩法D.反证法【解析】选B.由于题目不容易找到证明的突破口,故最合理的不是综合法,本题使用“执果索因”法,故适合的方法为分析法.2.在不等边△ABC中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,对三边a,b,c应满足的条件,判断正确的是()A.a2b2+c2D.a2≤b2+c2【解析】选C.要想得到A为钝角,只需cosA<0,因为cosA=,所以只需b2+c2-a2<0,即b2+c2

4、3.补充下面用分析法证明基本不等式≥ab的步骤:要证,只需证a2+b2≥2ab,只需证________,只需证________.由于________显然成立,因此原不等式成立.【解析】要证≥ab,只需证a2+b2≥2ab,只需证a2+b2-2ab≥0,只需证(a-b)2≥0,由于(a-b)2≥0显然成立,因此原不等式成立.答案:a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥0【补偿训练】当a≥2时,求证:【证明】要证只需证只需证只需证只需证只需证(a+1)(a-2)

5、不相等的正实数,求证:【证明】要证,只需证,只需证,由基本不等式得,所以.类型一分析法证明不等式【典例1】已知a>0,求证:【解题指南】观察到已知条件简单(a>0),而证明的结论比较复杂，这时我们一般采用分析法.【证明】要证只要证因为a>0,故只要证即从而只要证只要证即证而上述不等式显然成立,故原不等式成立.【方法总结】分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)适用范围:对于一些条件复杂,结构简单的不等式的证明,经常用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不

6、等式的证明,常用分析法.(3)思路方法:分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(4)应用技巧:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.【拓展延伸】综合法与分析法证明格式的区别(1)综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知,由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件.它的证明格式为:因为×××,所以×××,所以×××……所以×××成立.(2)分析法证明问题时,是从“未知”看“需知”,执果索因逐步靠拢“已知”,通过逐步探索,寻找问题成立的充分条

7、件,它的证明格式:要证×××,只需证明×××,只需证×××……因为×××成立,所以×××成立.【巩固训练】1.若a,b,c是不全相等的正数,求证:【证明】要证只需证只需证(中间结果)因为a,b,c是不全相等的正数,则且上述三式中的等号不全成立,所以(中间结果)所以2.已知非零向量a⊥b,求证:【解题指南】本题含有绝对值符号,可用分析法通过变形、平方证明.【证明】因为a⊥b,所以a·b=0.要证,只需证

8、a

9、+

10、b

11、≤

12、a-b

13、,平方得

14、a

15、2+

16、b

17、2+2

18、a

19、

20、b

21、≤2(

22、a

23、2+

24、b

25、2-2a·b),只需证

26、a

27、2+

28、b

29、2-2

30、a

31、

32、b

33、≥0成

34、立,即证(

35、a

36、-

37、b

38、)2≥0,显然成立.故原不等式成立.类型二分析法证明其他问题【典例2】求证:以过抛物