专题训练五-函数与导数.doc

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1、专题训练五——函数与导数一、高考【函数与导数】大题分析与预测：1、考查函数特点：由多项式、指数、对数函数四则运算或复合运算所得函数，一般带有参数。2、考查题型及解决办法：（1）研究函数的各种性质，如单调性、极值、最值等。包括：①给出具体的函数，求其性质，如含参数，一般需要对参数分类讨论；②给出含参数函数的性质，研究参数的值或范围。（2）研究不等式恒成立或有解问题。研究含参数的函数在给定区间的单调性，或直接研究含参数的不等式恒成立，可用①分离参数法，②构造函数法转化为函数最值问题，结合导数求解。不等式有解问题参照求解。（3）研究函数图像交点个数或方程的根的个数。先构造合

2、适的函数，用导数求函数的单调性，再由单调性描绘出函数的大致图象（有时还须结合函数极限研究图象的极端情形或结合特殊函数值研究图象的变化趋势），列出不等式（组）求解。（4）证明不等式。证明不等式在给定区间内恒成立，通常经过构造函数，用导数研究单调性，转化为函数最值问题。3、考查难度：函数与导数大题一般位于第20—22题，常见为20题，难度为中档或中档以上。二、典型例题：例1．(2011届高考数学仿真押题卷——陕西卷（理4）)设函数与的图像分别交直线于点,且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行。（1）求函数,的表达式；（2）设函数，求函数的最小值。例1．【分析】本题考查含

3、参数的二次、对数、无理形式的函数，（1）给切线关系，求函数式；（2）求函数最值。属中档偏易题。【解】（1）由得,由得.又由题意可得,即,故,所以,。……4分（2）由得.由可知.故当时,递减,当时,递增,所以函数的最小值为.……12分【点评】（1）利用切线斜率相同，即求参数的值；（2）利用导数研究单调性，从而得最值。例2．设函数.（1）若a=，求的单调区间；（2）若当≥0时，求a的取值范围。例2．【分析】本题考查含参数的指数、二次形式的函数，（1）给参数的值，求单调区间；（2）给不等式恒成立，求参数范围。属中档题。【解】（1）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调递增

4、，在（-1，0）单调递减。………………4分（2）。令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.综合得的取值范围为………………12分【点评】（1）利用导数求单调区间；（2）把不等式恒成立问题转化为函数最值问题，讨论参数，用导数解决。第（2）题关键点：.例3．设函数.（1）求函数的单调区间；（2）已知对任意成立，求实数a的取值范围。例3．【分析】本题考查分式、对数形式的函数，（1）求单调区间；（2）指数不等式恒成立，求参数范围（使用（1）的结论）。属中档题。【解】（1）,，或，∴的增区间为，减区间为，.

5、………………5分（2）对两边取自然对数，得，由，知，故上式变为…………①由（1）知，时，，故要使①式对所有成立，当且仅当，即.………………12分【点评】（1）利用导数求单调区间；（2）将指数不等式转化为对数不等式，分离参数，转化为函数最值问题。第（2）题关键点：指数不等式两边取自然对数。例4．已知函数，.（1）求在区间上的最大值；（2）是否存在实数m，使得的图象与的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。例4．【分析】本题考查（1）二次函数“定轴动区间”上的最值；（2）含参数的对数、二次形式的函数图像交点个数，求参数范围。属中档题。【

6、解】（1）函数的图象为抛物线，开口向下，对称轴为.①当时，在上递减，；②当，即时，；③当，即时，在上递增，.综上，………………5分（2）函数的图象与的图象有且仅有三个不同的交点，即函数1Oxy3的图象与有且仅有三个不同的交点。，或，.故在.又时，，，此时；时，，，此时.从而的大致图象如右，要使其与有且仅有三个不同的交点，只需解得，即当时，函数的图象与的图象有且仅有三个不同的交点。………………12分【点评】（1）按对称轴与区间两端点位置关系，分三类讨论；（2）将原两函数图象交点个数转化为与图象交点个数，用导数研究的单调性，用单调性结合函数极限作出图象。第（2）题关键点：

7、转化为与图象交点。第（2）题也可用代替函数极限。例5．函数．（1）试求的单调区间；（2）求证：不等式对于恒成立．例5．【分析】本题考查含参数的对数、分式形式的函数，（1）求单调区间；（2）证明不等式（使用（1）的结论）。属中档偏难题。【解】（1）．　当时，，在上单调递增；　当时，时，，递减，时，，递增。综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．………4分（2）证明：∵，∴.令，∴，由（1）知，当时，在上递增，故时，，即，∴在上单调递增，∴，∴，∴．………………12分【点评】（1）结合定义域讨论参数，得到导数的正负，即原