常用数学建模方法及实例.ppt

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1、3常用数学建模方法及实例概述机理分析法直接相似法系统辨识法概率统计法定性推理法层次分析法计算机辅助建模3.1概述常见数学建模方法及其分类传统：机理分析与试验统计现代：层次分析和定性推理、系统辨识分类：机理分析法、直接相似法、系统辨识法、回归统计法、概率统计法、量纲分析法、网络图论法、图解法、模糊集论法、层次分析法、定性推理法、“灰色”系统法、蒙特卡洛法、分析统计法等。3.1概述数学建模方法的一般选择选择依据：系统状况、建模目标、建模精度、周期和费用原则：“白盒”问题：机理分析法、直接相似法、量纲分析法、图解法。“灰盒”问题或

2、“黑盒”问题：可以通过试验进行观察的：系统辨识法、回归统计法、概率统计法、蒙特卡洛法、分析统计法不能直接通过试验观察的：想定法、网络分析法盒图解法边界不清楚的不确定性问题：模糊论集法、概率统计法、蒙特卡洛法生物、医学系统：隔舱系统法结合其他建模方法（蒙特卡洛法）非工程的社会问题：层次分析法、网络分析法，结合博弈矩阵描述法。3.2机理分析法原理在若干简化假设条件下，以各学科专业知识为基础，通过分析系统变量间的关系和运动规律，而获得解析型数学模型。步骤分析系统的功能、原理，描述建模目标找出系统的输入和输出变量按照系统（部件、元件

3、）遵循的物化（或生态、经济）规律列写出各部分的微分方程或传递函数消除中间变量得到初步数学模型进行模型标准化进行验模3.2机理分析法－－实例机械系统力学模型：力平衡方程：牛顿第二定律：质点运动的功和能：拉格朗日方程：力与能的关系。刚体运动的拉格朗日方程：平动、转动方程刚体运动的欧拉方程：力矩和力方程3.2机理分析法－－实例例：质量－弹簧－阻尼系统：M1M2k1f1f2y1y2FK23.2机理分析法－－实例电子（电气）系统电阻器、电容器、电感器模型基尔霍夫定律：第一（电势）、第二（电流）定律戴维南定律：阻抗理论3.2机理分析法－

4、－实例例：串联RC滤波电路C1C2R1R2i1i2u1u23.2机理分析法－－实例机电系统例：电机拖动位置伺服系统系统工作原理分析：由检测元件（自整角机）、放大器、执行电机、局部测速反馈、减速装置和负载构成的典型负反馈闭环位置随动系统。变量：输入r，输出c方程：自整角机：比例环节放大器：比例环节伺服电机：基尔霍夫定律等负载特性：齿轮、力矩传递函数：模型变换验模：试验测试，辨识3.2机理分析法－－实例3.2机理分析法－－实例3.2机理分析法－－实例微分方程为:3.3直接相似法原理定义：利用相似原理实现系统之间变量等效的一种

5、建模方法应用：系统的数学模型，不同的物理变量。下面二阶系统中的变量可以是：电荷或磁通线位移角位移3.3直接相似法相似系统间的参数对应关系及模型系统类型对应相似参数模型（方程）电路系统电压u电流I电量Q电阻R电感L电容C线运动力F速度v位移y阻尼N质量M刚度K角运动力矩T角速度w角位移阻尼惯性矩J刚度K液压系统压力p流量q容积V阻尼惯性M液容c气压系统压力p流量q容积V阻尼惯性M气容c3.3直接相似法共同点:常参量线性元件和线性控制的运动方程是常系数微分方程运动方程的系数由元件或者系统结构本身的参量组合而成,是不是实数

6、对于统一元件或系统,由于取输出量不同,运动形式也不同方程的形式取决于:元件系统结构物理过程一维常系数线性系统运动微分方程普遍式:3.4系统辨识方法定义：通过测量系统在外作用（输入）下的系统响应（输出）数据，按照一定的准则，在给定的约束条件下，从试验数据中选择和拟合一个反映系统本质属性的数学模型结构，并确定出模型中的未知参数。系统辩识三要素:数据模型类等价准则黑箱理论与模型辨识差异系统黑箱人比较模型实践结果实践结果实践结果认识对认识修改3.4系统辨识方法系统辨识基本过程明确辩识的目的和先验知识试验设计模型类型和结构的确定参数估

7、计模型校验3.4系统辨识方法系统辨识过程模型框架：模型类别根据对被识系统的综合分析和建模目标，确定模型类：静态或动态，线性或非线性，连续或离散，定量或定性，参数或非参数模型结构：变量间关系判别方法：辨识模型的阶次。经典法：统计假设检验法近似法：预报误差法和信息度量法模型参数：向量参数。参数估计、状态估计性能准则函数：二次型准则、极大似然准则估计算法：阶跃响应法；最小二乘法、极大似然法3.4系统辨识方法应用火力热电场热工过程的动态特性飞行器气动参数模型自适应控制系统算法设计化工工程动力学参数确定大气污染扩散模型人口控制中的预报

8、和决策模型3.5概率统计法原理在理论分析和实验的基础上，利用概率统计知识和方法建立实际随机系统或过程的数学模型的过程。实质是：通过理论分析和试验寻求适合与系统随机性的概率分布。过程确定分布类型，进行验证。正态分布：电子噪声、测量误差泊松分布：典型排队服务系统（交通管理、飞机起降、电话呼叫）