函数单调性和奇偶性专题.pdf

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1、.函数单调性和奇偶性专题一．知识点精讲：一、单调性1.函数的单调性定义：一、函数单调性的定义及性质（1）定义对于给定区间I上的函数yfx，如果对任意x1,x2I，当x1x2，都有fx1fx2，那么就称yfx在区间I上是增函数；当x1x2，都有fx1fx2，那么就称yfx在区间I上是减函数．fx1fx2fx1fx2与之相等价的定义：⑴0，〔或都有0〕则说f(x)在这x1x2x1x2个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点x1,fx1,x2,fx2连线的斜率都大于（或小于）0。（2）函数的单调区间如果函数yfx在某个区间上是增函数（或减函数），

2、就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做该函数的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。单调性反映函数的局部性质。一个函数f(x)在区间I1,I1上都是增函数，但它在区间I2UI2上不一定是增函数。（3）判断单调函数的方法：①定义法，其步骤为：①在该区间上任取x1x2，②作差fx1fx2、化积、定号；②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；③奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上却有相反的单调性；④复合函数单调性的根据：设yfu,ugx,xa,b,um,n都是单调函数，则yfgx在a,b上也

3、是单调函数，其单调性是f与g单调性相同则yfgx是增函数，单调性相反则yfgx是减函数。⑤几个与函数单调性相关的结论：（ⅰ）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；（ⅱ）增函数－减函数=增函数；减函数－增函数=减函数。⑥如果yfx在某个区间D上是增函数（或减函数），那么.yfx.在区间D的任..意一个子区间上也是增函数（或减函数）。（4）常见一些函数的单调性：①一次函数ykxbk0，当k0时，在,上是增函数；当k0时，在,上是减函数．k②反比例函数yk0，当k0时，在,0和0,上都是减函数；当k0时，x在,0和0,上都是增函数．2bb③二次函数yaxbxca0，当

4、a0，在,上是减函数，在,2a2abb上是增函数；当a0，在,上是增函数，在,上是减函数．2a2axx④当a1时，ya和ylogax在其定义域内为增函数，当0a1，ya和ylogax在其定义域内为减函数。二、奇偶性①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称。③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇

5、函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）二．经典例题剖析：（不带答案版）单调性:例1．（1）函数f(x)＝

6、x－2

7、x的单调减区间是______.2（2）函数f(x)的单调区间_______；x11变式：（1）函数y的单调区间为x11,x02（2）设函数f(x)＝0,x0，g(x)＝xf(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．1,x02例2：（1）函数f(x)2x(m1)x1在(,1]上单调递减，则实数m的范围_______；a（2）函数yx(a0)在[2,)上单调递增，则实数a的范围_________。x..2变式：（1）已知函数f(x)＝x－2a

8、x－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．（2）函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是________.x例3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3－1，132则f,f,f之间的大小关系是_______.3232例4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a

9、(x)x(k0)在(0,)上的单调性。x2a例6：已知函数f(x)x(x0，常数aR）．若函数f(x)在x[2，)上为增函数，x求a的取值范围．2变式：已知函数f(x)x2a1x2在区间4,上是增函数，求实数a的范围。xa例7：设函数f(x)(ab0)，判断f(x)在其定义域上的单调性。xb2例8：求f(x)loga(3x5x2)（a0且a1）的单调区间。2例9：设a为实数，函数f(x)x

10、xa

11、1，xR，求f(x)的最小值．奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性：31（1）f(x)x（2）f(x)

12、x1

13、

14、x1

15、x223x2x,x