2019年 二次曲面[1]ppt课件.ppt

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1、二次曲面§6.3柱面球面锥面旋转面二次曲面小结思考题在空间直角坐标系中，三元方程F(x,y,z)=0表示空间曲面，而则表示空间曲线.本节主要讨论一些常见的曲面.研究空间曲面方程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状.所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.一、球面与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面.下面建立球心在点P0(x0,y0,z0),半径R为的球面方程.空间中任一点P(x,y,z)在球面上,当且仅当

2、P0P

3、=R,所以该球面方程为:若球心在坐标原点,则球面方程为:x2+y2+z2=R2将上

4、述方程展开得即其中这个方程的特点为:(1)它是三元二次方程;(2)平方项的系数都相等且不为零(可设为1);(3)不含有交叉项xy,yz,zx.一般地,满足上述三个条件的方程,其图形总是一个球面.事实上,通过配方法,每一个这样的方程都可以化为:当k＞0时,表示球心在P0(x0,y0,z0),半径为的球面方程;当k=0时,球面缩为一点;当k＜0时,无图形(通常称为虚球面).例如，方程配方后得:是以(1,1,0)为球心,半径为2的球面.例9已知一球面的球心P0(1,4,-7),且与平面6x+6y-7z+42=0相切,试求此平面的方程.解依题意,点P0(1,4,-7)到平面6x+6y-7z+4

5、2=0的距离恰是此球面的半径R,利用点到平面的距离公式有:故此球面方程为即二、柱面由一族平行直线形成的曲面叫做柱面，这些平行的直线称为柱面的母线，在柱面上与各母线垂直相交的一条曲线称为柱面的准线，通常用垂直于母线的平面去截柱面就得到一条准线L，准线不是唯一的.柱面也可以看成由一条动直线L沿定曲线C平行移动所得到的曲面，L称为母线，C称为准线.（图6.1）xyzoLC下面建立柱面方程.设有一柱面,选取坐标系，使该柱面的母线平行于z轴,点P(x,y,z)为柱面上任一点,当该点平行于z轴上下移动时,它仍保持在柱面上,也就是说,不论z为何值,P(x,y,z)的坐图6.1标都满足柱面方程.因此该

6、柱面方程中不含有z,可设柱面方程为:F(x,y)=0它与xoy面的交线就是它的一条准线.一般地,在空间直角坐标系中,方程F(x,y)=0(不含z),表示母线平行于z轴的柱面,它的一条准线方程G(x,z)=0(不含y),表示母线平行于y轴方程H(y,z)=0(不含x),表示母线平行于y轴的柱面,它的一条准线为为的柱面,它的一条准线为例10说明下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面?解椭圆柱面:母线平行于x轴,准线是yoz面上的椭圆(图6.2);(2)圆柱面:母线平行于z轴,准线是xoy面上的单位圆(图6.3);(3)抛物柱面:母线平行于z轴,准线是xoy面上的抛物线(图6.4);(4)

7、双曲柱面:母线平行于y轴,准线是xoz面上的椭圆(图6.5);(5)过z轴的平面:母线平行于z轴,准线是xoy面上的直线(图6.6);图6.2图6.3yzxxyzyoxzzxyo图6.4图6.5xyzo图6.6三、锥面过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面.这些直线叫做它的母线，定点叫做它的顶点.在锥面上与各条母线都相交的曲线叫做它的一条准线，准线不是唯一的，通常可取在一个平面上的截线作为其准线（图6.7）.如果准线是一个圆，顶点在通过圆心且垂直于此圆所在平面的直线上，这样的面锥叫圆锥面.oxyz图6.7下面建立锥面的方程.已知锥面的顶点为A(x0,y0,z0),准线为L:设P(x,y,

8、z)为锥面上任一点,母线AP交准线于点P1(x1,y1,z1),则由直线的两点式方程知母线AP的方程为:同时点P1(x1,y1,z1)满足:F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0三元方程:F(x,y,z)=0这就是以A为顶点L为准线的锥面方程.例11锥面的顶点在坐标原点，且准线为：x2+y2=1z=c(c为常数),求锥面的方程.解设P(x,y,z)为锥面上任一点,母线OP交准线于点P1(x1,y1,z1),则有消去参数x1,y1,z1可得z2=c2(x2+y2)由上面四个等式消去参数x1,y1,z1可得一个这就是所求的锥面方程.由于其准线为圆,故此锥面称为圆锥面.一

9、般地,方程表示一个顶点在原点的锥面,用平面z=c去截它,就得到一条准线这是一个椭圆,

10、c

11、由0逐渐增大,椭圆的半轴也由0逐渐增大.用x=x0去截,当

12、x0

13、=0时,截线是一对相交直线,当

14、x0

15、从0增大到+∞时,截线是半轴单调增大的一组双曲线.用y=y0去截有与x=x0类似的结果,如图6.8所示.xyzo图6.8锥面的特点是:过顶点和锥面上任一点的直线在锥面上.如果顶点在原点O(0,0,0),那么,顶点O(0,0,0)与锥面上任一点P(x,y,