一维势场中粒子能量本征态的一般性质ppt课件.ppt

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1、§2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质设质量为m的粒子沿x轴运动，势能是V(x)，则薛定谔方程是定态波函数的形式为(2)代(1)可得粒子能量的本征方程若不作特别说明，有定理1设Ψ(x)是方程（3）的解，对应的能量本征值为E，则Ψ*(x)也是方程(3)的解，对应的本征能量也是E。证明：薛定谔方程为两边取复共轭，并注意到即也是方程(3)的解，对应的本征值也是E推论：假设对应于能量的某个本征值E，方程(3)的解无简并，则可取为实解。得证明：若是对应能量E的一个解，则也是对应能量E的解。因能级无简并，则有两边再取复

2、共轭得则取则定理2对应于能量的某个本征值E,总可以找到方程(3)的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为这组实解得线性叠加。证明：设Ψ是方程(3)的对应于某一能量E的一个解。如果Ψ是实解，则将其归入实解集合。如果Ψ是复解，则Ψ*也是方程(3)的解，对应的本征值也是E。则它们的线性组合也是方程(3)的解，对应的本征值也是E。则-----------证毕定理3设V(x)具有空间反射不变性，即如Ψ(x)是方程(3)的对应于能量本征值E的解，则Ψ(-x)也是方程(3)的对应于能量E的解。证明：当x→-x时，由于V(x

3、)=V(-x)，则薛定谔方程可化为---------证毕空间反射算符P：在直角坐标下：r→-r在球坐标下：r→-r推论：若势函数具有空间反射不变性，如果对应于某能量E，方程(3)的解无简并，则解必有确定的宇称。证明：由定理(3)，Ψ(x)与Ψ(-x)是同一解，即或偶宇称解奇宇称解注意：对于能级有简并的情况，能量本征态并不一定具有确定的宇称。定理4设Ψ(x)是方程(3)的一个解，则对应于任何一个能量本征值E，总可以找到方程(3)的一组解（每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E的任何解都可以用它们展开证明：设Ψ

4、(x)是方程(3)的一个解，如无确定的宇称，则Ψ(-x)也是方程(3)的一个解，两者对应同一本征值构造显然，f(x),g(x)均为方程(3)的解，对应的能量也为E，且有确定的宇称。则-------证毕定理5对阶梯形方位势V2-V1有限，则能量本征函数及其导数必定是连续的证明：按方程(3)在x~a的邻域，对上述方程两边作积分得所以即波函数的导数在跃变点是连续的，波函数也是连续的在V(x)连续的区域，波函数及其一阶导数连续。定理6，对于一维粒子，设Ψ1(x)和Ψ2(x)均为方程(3)的属于同一能量E的解，则证明：按

5、照假设有即积分得--------证毕定理7设粒子在规则势场V(x)（(V(x)中无奇点)中运动，若存在束缚态，则必定是非简并的证明：设Ψ1和Ψ2是方程(3)的属于能量E的两个束缚态解，则有在不含波函数节点的区域，有即束缚态：粒子局限在有限空间中，在无无穷远处找到粒子的概率为零。即§2.2方势（4）一维问题是处理各种复杂问题的基础。在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrödinger方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。这样讨论的意义有：（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其它基

6、本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；2.2.1无限深方势阱，离散谱势函数0aV(x)IIIIII求解S—方程分四步：（1）列出各势域的一维S—方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）确定归一化系数在阱内(0

7、为零利用不确定性关系也可求解：则(2)波函数的对称性当n奇数时，波函数为对称的当n偶数时，波函数为反对称的即各能级波函数的节点数位n-1(3)波函数在整个空间中连续，但其微商在x=0和x=a点不连续(4)基态动量波函数问题Landau做法Pauli求解谁对？谁错？表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色deBroglie波叠加而成的驻波。2.2.2有限深对称方势阱问题x-a/2a/2V=00ⅠⅡⅢ仅讨论束缚态(0

8、力学则不然。在经典禁区，能量本征方程为令则方程(14)的解具有下列形式：在经典允许区，能量本征方程为考虑到束缚态的边界条件：波函数应取如下的形式令方程(17)的解具有如下形式：考虑到势阱具有空间反射不变性，按照定理4，束缚态能量必有确定的宇称，因此只能取sinkx,coskx的形式。(a)偶宇称态由波函数及其导数在边界上的连续性，可得到由此得到令则式(20)可化为由(15),(18),