函数的最大值与导数ppt课件.ppt

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1、1．3.3　函数的最大(小)值与导数理解函数的最大值、最小值的概念；了解函数的极值与最值的区别与联系；会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.1.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得①________和②________并且函数的最值必在③________或④________取得．2.求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤(1)求函数y＝f(x)⑤________；(2)将函数y＝f(x)的⑥___

2、_____与⑦________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值：自我校对：①最大值②最小值③极值点处④端点处⑤在[a，b]内的极值⑥各极值⑦端点处的函数值f(a)，f(b)1.下列说法正确的是(　　)A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值则一定有最值D．若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值解析：最值与极值概念．故选D.答案：D2．函数y＝

3、x－1

4、，下列结论正确的是(　

5、　)A．y有极小值0，且0也是最小值B．y有最小值0，但0不是极小值C．y有极小值0，但0不是最小值D．因为y在x＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值解析：最小值与极小值定义的应用．故选A.答案：A答案：B答案：2，－25．求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2在区间[－1,1]上的最值．解析：f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)，因为f′(x)在[－1,1]内恒大于0，所以f(x)在[－1,1]上是增函数，故当x＝－1时，f(x)取得最小值－12；当x＝1时，f(x)取得最大值2.即f(x)的最大值为2，最小值为－12.1.函数f(x)的图象在区间[a

6、，b]上连续不断是f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值的充分而非必要条件．2．当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．3．当图象连续不断的函数f(x)在(a，b)内只有一个可疑点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间．4．函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处，则必为极值．5．函数f(x)在区间(a，b)上的最值在区

7、间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：如图，图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．[分析]求函数在闭区间[a，b]上的最值．应先求极值，再求区间端点值，然后比较极值与端点值，从而找出最大值和最小值．∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π，f(x)有最大值f(2π)＝π.当x

8、∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数．故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.[点拨](1)用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意极值点是否在区间内．(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解．练1求下列函数在给定区间上的最大值与最小值．(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；[解](

9、1)f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，则6x2－6x－12＝0，即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.∵f(－1)＝12，f(2)＝－15，f(－2)＝1，f(3)＝－4，∴函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在x∈[－2,3]上的最大值为12，最小值为－15.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上单调递增．∴f(x)＝x3－3x2＋6x－2在[－1,1]上的最大值为f(1)＝2，最小值为f(－1)＝－12.(3)f′(x)＝2