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1、第2课时 等差数列前n项和的性质等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾1．若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A．13项 B．12项C．11项D．10项2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也成等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有n2d(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝10，则S12等于( )A．12 B．18C．24D．42(2
2、)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm＝1，S3m＝4，试求S6m.2.等差数列{an}前n项和的性质性质2:Sn是常数项为零的二次函数的形式：Sn=An2+Bn其中：为等差数列.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．由题目可获取以下主要信息：①S10＝100，S100＝10；②此数列为等差数列．解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答．等差数列的前n项的最值问题引例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.等差数列的前
3、n项的最值问题解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn等差数列的前n项的最值问题解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10
4、=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a8<0∴a7>0,所以数列的前7项大于0，从第8项小于0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1＜0，且S9=S12,求n取何值时,Sn取最小值.等差数列的前n项的最值问题解法1设公差为d,由S,9=S12得∵a1＜0,∴d＞0∴当n=10或n=11时,Sn取最小值9a1+36d=12a1+66d∴a1=-10d等差数列的前n项的最值问题解法2由S9=S12得10d=－a1＞0∴当n=10或n=11时,Sn取最小值则Sn的图象开口向上
5、又S9=S12所以图象的对称轴为等差数列的前n项的最值问题解法3由S9=S12得a1=-10d∴当n=10或n=11时,Sn取最小值∴an=a1+(n-1)×d=(n-11)×d由得∵a1＜0,∴d＞0∴3a11=0等差数列的前n项的最值问题解法4由S9=S12得∴当n=10或n=11时,Sn取最小值a10+a11+a12=0而a10+a12=2a11又a1<0,所以数列的前10项小于0，第11项等于0，从第12项大于0等差数列的前n项的最值问题练习.已知等差数列{an}中,S12＜0，S13＞0求n取何值时,
6、Sn取最小值.性质2:在等差数列{an}中，性质2:在等差数列{an}中，已知数列{an}为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公式．
