2021届高考数学一题多解专题02 椭圆-（文理通用解析版）.docx

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1、2021届高考数学二轮复习微专题（文理通用）一题多解之椭圆篇【走进高考】【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等

2、数学素养．【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____．【答案】2【解析】法一：由可得三点共线且A为线段的中点，由题意知F1，F2的坐标分别为，设A点的坐标为，B点的坐标为，由可得，解得B点的坐标为，所以，又，则有（1），又可得，代入（1）式得，∴该双曲线的离心率为．法二：如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，，又OA与OB都是渐近线，得又，∴又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线

3、和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.【例】【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.

4、因为F1(−1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2−c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x−1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(−1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由，得，解得或.将代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.由，得，解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的

5、交点，所以.将代入，得.因此.解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.因为F1(−1，0)，由，得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.【例】【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭

6、圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．【答案】【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍），又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用

7、焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.【典例分析】离心率问题中的一题多解【例】【2016年高考数学新课标Ⅲ卷文科12题】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（　　）．．．D．【答案】【知识点】椭圆的简单性质函;椭圆的离心率【解析】方法一：几何法:令为的中点∽，，，又∽，，，方法二：代数法解：由题意可设，，，令，代入椭圆方程可得，可得，设直线的方程为，令，可得令，可得设的中点为，可得由三点共线，可得，即为，化简可得，即，可得选：方法三：几何代数结合法设直

8、线的方程为，令，可得令，可得设的中点为，可得，∽，定值问题中的一题多解【例】已知椭圆C：过点A