2021届高考数学一题多解专题03 抛物线-（文理通用解析版）.docx

《2021届高考数学一题多解专题03 抛物线-（文理通用解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2021届高考数学二轮复习微专题（文理通用）一题多解之抛物线篇【知识储备】【走进高考】【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若

2、AF

3、+

4、BF

5、=4，求l的方程；（2）若，求

6、AB

7、．【答案】（1）；（2）.【解析】设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．所以的方程为．（2）法一：由题意设P点的坐标为，则，由可得．由，可得．所以．从而，故．代入的方程得．故．法二：过A点、B点分别向x轴作垂线，垂足分别为M，N，易知，由可得．下同法一。【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线

8、与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.【例】(2018全国卷Ⅰ)设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则=A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】法一：过点且斜率为的直线的方程为，由，得，解得或，所以，或，不妨设，，易知，所以，，所以．故选D．法二：过点且斜率为的直线的方程为，由得，设，，则，，根据根与系数的关系得，．易知，，，所以．故选D．【例】(2018全国卷Ⅲ)已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则______．【答案】2【解析】解法一由题意知抛物线的焦点为

9、，则过的焦点且斜率为的直线方程为，由，消去得，即，设，，则，．由，消去得，即，则，，由，得，将，与，代入，得．解法二设抛物线的焦点为，，，则，所以，则，取的中点，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，又，点在准线上，所以．又为的中点，所以平行于轴，且，所以，所以．【例】【2016年高考数学天津理第16题】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E.若

10、CF

11、=2

12、AF

13、，且△ACE的面积为，则p的值为.【答案】【解析】法一：抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，，所以，

14、．法二：由题意知，，设，又，可得直线又，可得直线，得同法一，，解得：。法三：由题意解得，，则有，，同法二解得，，，解得：【例】【2016年高考数学四川理8题】设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为（）【答案】【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的弦长；抛物线的最值问题【解析】法一（直接法）由题意可知：设点坐标为，点坐标为.则的最大值，不妨设.，则，可得，即，当且仅当等号成立.则直线斜率的最大值法二（参数法）由题意可知设点坐标为，点坐标为.，则，即，当且仅当等号成立.则直线斜率的最大值法三（几何法）由题意可知点坐标为，点坐标为.作点关于点的对称点由已

15、知可得点为重心坐标为（，，当且仅当等号成立.则直线斜率的最大值法四：（方程法）由题意可知：设点坐标为，点坐标为.则的最大值，不妨设.，则，可得，即，点的轨迹方程为：与联立，可得，，，斜率的最大值。【典例分析】线过定点问题中的一题多解：【例】（2020·山东省高考模拟）已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点，关于轴的对称点为.（1）求抛物线的方程；（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.（2）解法一：设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系，设

16、直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系，从而得到的关系，找出定点.解法二：直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，设直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，从而可以解出，得到定点.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点坐标为，所以，所以抛物线的方程为；（2）【解法一】因为点与点关于轴对称，所以设，，，设直线的方程为，代入得：，所以，设直线的方程为，代入得：，所以，因为，，所以，即，所以直线的方程为，必过定点.【解法二】设，，，因为点与点关于轴对称，所以，设直线的方程为，代入得：，所以，设直线的方程为，代入得：，所以，因为，所以，即，所以直线的方程为，必过定点.【点睛】

17、本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.定值问题中的一题多解：【例】（2020·内蒙古自治区高三）已知点是抛物线上一点，且到的焦点的距离为.（1）求抛物线在点处的切线方程；（2）若是上一动点，且不在直线上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为.证明：为定值，并求该定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据抛物线定义确定以及，再根据导数几何意义确定