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《2021届高考数学一题多解专题06 平面向量-（文理通用原卷版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2021届高考数学二轮复习微专题（文理通用）一题多解之平面向量篇【走进高考】【例】【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．解法二：设在直角三角形ABC中，令其斜边CB的长度为2，直角边CA的长度为1，则直角边AB的长度为，设，则,又，所以b，则a与b的夹角为角C，即为。【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹
2、角范围为．【例】【2018全国卷Ⅰ】在中，为边上的中线，为的中点，则A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：如图所示，．法二：．故选A．【例】【2017年高考全国II卷】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【考点】平面向量的坐标运算、函数的最值【分析】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与
3、值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【解析】解法二：极化恒等式：取的中点为，则，于是，根据极化恒等式可得.解法三：代数法：如图所示，若取最小值，则与反向共线，即点位于的中线上，中线长为，设，则，因此；当时，取得最小值，此时，.【例】【2016高考课标I卷理13题】设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且
4、a+b
5、2=
6、a
7、2+
8、b
9、2，则m=.【答案】【知识点】向量的数量积及坐标运算【解析】法一：由，得，所以，解得.法二：，，，法三：，所以，解得.【典例分析】数量积问题中的一题多解：
10、【例】【2016年上海理科数学第12题】在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是_________【答案】【知识点】直线方程、曲线方程、向量的数量积、函数的值域【解析】解法一：坐标法由是曲线上一个动点，可设，,即，又由于，得,从而可得.解法二、换元法由P是曲线上一个动点，不妨设，即，即，令，得，又由于，得，从而有解法三、向量法不妨设，由P是曲线上一个动点，得由，又由于，得，从而可得解法四、线性规划法由P是曲线上一个动点，不妨设，得令，得，要求的取值范围，只要求与圆弧相交的平行线束
11、的y轴截距的取值范围即可。如图可知，（1）当过点时，此时平行线束y轴的截距最小，即最小，（2）当与单位上半圆相切于点C时，此时平行线束y轴的截距最大，即最大。故由圆心O到直线的距离等于半径，得，求得或（舍），即综上所得解法五、几何法由，得要求的取值范围，只要求的取值范围即可过点P作BA的垂线PC，交BA的延长线于点C，由，得，即设：，如图，（1）当直线PC过点D时，最小，由，得：又由直线:，联立直线的方程，得此时的C，即（2）当直线PC与圆弧相切于点P（第一象限）时，最大，即圆心到直线PC的距离，求得或（舍），即此时的直线PC
12、：，联立方程得，即此时，综上所得，，从而有目标函数最值问题中的一题多解：【例】【2017年高考数学全国三卷理12】12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为A．3B．2C．D．2【答案】A【解析】方法一：特殊值法：令,故选A。方法二：解析法如图所示，建立平面直角坐标系.设,易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.如图：由等和线相关知识可知，当P点在如图所示位置时，最大
13、，且此时若,则由，由三角形全等可以得,知，所以选A【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【思路解析】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.向量模问题中的一题多解：【2016年高考数学四川理10题】在平面内，定点满足，，动点P，M满足，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【知识点】平面向量数量积的运算;向量模的最值【解析】由知,为的外心;由
14、得为的垂心.所以为等边三角形.易知的边长为。解法一(几何法）：取的中点,是的中点,,所以,解法二:（解析法）建立如图所示的直角坐标系,则,则的轨迹为①设，则②，把②代入①即点的轨迹为，它是以为圆心，半径为的圆。所以,。解法三（参数法）：解法二中令，当且仅当时，等号成立。几何证
