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《2012考研数学一真题答案(完整版).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.数一参考答案一、选择题12345678CCBDCBAD二、填空题9、ex；10、；11、1,1,1；12、3；13、2；14、32124三、解答题(15)证明：令fxxln1xcosx1x2，f(x)是偶函数1x2fxln1x12xsinxx1xx2f00fx1121x24x2cosx11x1x1x224cosx14201x221x22fxf00所以即证得：xln1xcosx1x21x11x2(16)fx,yx2y2x2y2x2y22222exexe1x0x解：fx,yx2y2xe2y0y得驻点
2、P11,0,P21,0;..2fx,yx2y2x2y21x22xe2e2xx22fx,yx2y22e21xyxy2fx,yxex2y2y21y22根据判断极值的第二充分条件，把P11,0,代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以P11,0,为极小值点，极小值为1f1,0e2把P21,0代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以P21,0为极大值点，极大值为1f1,0e2(17)解：（Ⅰ）收敛域4n24n32(n1)1an(x)lim2n1xlim4n24n32(n1)1x2x2Rlim4(n24
3、(n1)32n12n124(n1)nan1(x)n1)n4(n1)3x2(n1)1令x21，得1x1，当x1时，技术发散。所以，收敛域为(1,1)（Ⅱ）设S(x)4n24n3x2n(2n1)22x2n[(2n1)x2n2x2n](x1)n02n1n02n1n02n1令S1(x)(2n1)x2n，S2(x)2x2nn0n02n1xS1(t)dtx1)t2ndtx2n1x2(x1)因为(2n0n0n01x0所以S1(x)(x2)1x22(x1)1x(12)x因为xS2(x)21x2n1n02n所以[x
4、S2(x)]2x2n2x2n212(x1)n0n01x;..xxx1)dtln1x(x1)所以[tS2(t)]dt212dt(1001t01t1t1x即xS2xln1x，故xS2(x)ln1x(x)01x1x1x当x0时，2(x)x1x当x0时，S1(0)1,S2(0)21lnS所以，S(x)S1(x)S2(x)1x21ln1xx(1,0)(0,1)(1x2)2x1x3x0(18)解：曲线L在任一处(x,y)的切线斜率为dyfsint，过该点(x,y)处的切线为dx(t)Ycostsint(Xf(
5、t))。令Y0得Xf(t)cottf(t)。由于曲线L与x轴和y轴f(t)的交点到切点的距离恒为1.故有[f(t)cottf(t)f(t)]2cos2t1，又因为f'(t)0(0t)2所以f(t)sint，两边同时取不定积分可得f(t)lnsecttantsintC，又由于cottf(0)0，所以C=0故函数f(t)lnsecttantsint此曲线L与x轴和y轴所围成的无边界的区域的面积为：S2costf(t)dt04(19)解：补充曲线L1沿y轴由点(2,0)到点(0,0),D为曲线L和L1围
6、城的区域。由格林公式可得原式=3x2ydx(x3x2y)dy3x2ydx(x3x2y)dyLL1L1=(3x213x2)d(2y)dy1d2ydyDL1DL112122y224212ydy042022(20)解：;..（I）1a001a0a0001a0A=101aa(1)411a01a4001a00101aa001(II)对方程组Ax的增广矩阵初等行变换：1a0011a0011a00101a0101a0101a01001a0001a0001a0a00100a201a00a31aa21a00101a
7、01001a00001a4aa2可知，要使方程组Ax有无穷多解，则有1a40且aa20，可知a111001此时，方程组Ax01101，进一步化为最简形得的增广矩阵变为0110000000100101001011110011可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解01000000101011为k1010(21)解：（1）由二次型的秩为2，知r(T)2TAA，故r(A)r(AA)2对矩阵A初等变换得10110110110101101101101110a00a100a100a10a10a10
8、01a000;..因r(A)2，所以a1202（2）令BATA022224202202102EB022(2)22(2)122(2)(6)0224024024所以B的特征值为10,22,36对于对于对于1230，解(1EB)X0得对应的特征向量为2，解(2EB)X0得对应的特征向量为6，解(3EB)X0得对应的特征向量为1(1,1,1)T2(1,1,0)T3(1,1,2)T将1,2,3单位化可得1111111,1,11123120621113260111正交矩阵Q，则QTAQ2
